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ISSN : 2005-0461(Print)
ISSN : 2287-7975(Online)

Journal of Society of Korea Industrial and Systems Engineering Vol.48 No.4 pp.15-24
DOI : https://doi.org/10.11627/jksie.2025.48.4.015

Decision-Making Based on High-Low Stock Price: Posterior Probability Distribution Control Charts

Seongwon Ryu

, Gyutai Kim

, Jong-Ho Shin†

Department of Industrial Engineering, Chosun University

^†Corresponding Author : jhshin@chosun.ac.kr

Received 10/06/2025 Finally Revised 13/10/2025 Accepted 15/10/2025

Abstract

This study proposes a Bayesian framework for sequential stock investment decision-making using daily high and low stock price data. The proposed methodology models stock behavior using the Beta distribution and constructs a prior Normal-Gamma distribution based on the derived mean and variance. Additional parameters are estimated from the observed stock price range to enhance the framework's adaptability. The methodology establishes two Bayesian control charts that simultaneously monitor investment performance (Expected Stock Performance Control Chart, ESCFCC) and volatility (Variability of Stock Performance Control Chart, VSCFCC). These control charts are periodically updated with observed data and iteratively revise the posterior probability distribution as new data becomes available. This updating procedure provides investors with timely and data-driven decision-making information. For empirical validation, four investment scenarios were analyzed based on Samsung Electronics stock data from January 4, 2010, to May 31, 2017. The results highlight the usability of a sequential Stock Cash Flow Control Chart (SCFCC) framework, which utilizes daily high and low stock price data to enable real-time evaluation of investment performance and risk. By integrating statistical quality control charts with Bayesian probabilistic models, the framework establishes a system for continuously updating investment information and dynamically monitoring performance throughout the investment period.

Key Words : Bayesian Decision-Making , Stock Control Chart , Beta Distribution , Sequential Investment , Posterior Updating

고가-저가 주가 데이터를 활용한 순차적 주식 투자 의사결정: 사후 확률분포 관리도 구축

류승원, 김규태, 신종호†

조선대학교 산업공학과

초록

키워드 :

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Cited-By

Funding:

1. 서 론

금융 투자 의사결정 과정은 일반적으로 증권 분석 수행, 투자 포트폴리오 구성 및 수정, 성과 평가 단계를 포함한다 [20]. 이 중 성과 평가는 과거 주가에 대한 확률적 예측이 실제 결과와 얼마나 일치하는지 평가하는 사후 감사 (post-audit) 과정을 포함하며, 이 단계에서 사용되는 데이터 종류에 따라 포트폴리오 수익성 평가가 큰 영향을 받는다. Dumicic and Zmuk[6, 25]는 수익성 평가의 기준 데이터로 일일 시가(opening price)와 평균가(average price)를 사용하 였으며, IMR(Individual Moving Range), CUSUM (Cumulative Sum), EWMA(Exponentially Weighted Moving Average) 등 의 관리도 기법을 활용하여 포트폴리오를 비교 분석하고, 평균가를 사용하는 포트폴리오가 더 높은 수익률 달성할 수 있음을 확인하였다.

본 연구는 대부분의 금융 시장에서 투자자에게 무료로 제공되지만 충분히 활용되지 못하는 일일 고가-저가 주가 데이터에 초점을 맞춘다. 이 데이터는 하루 거래 동안의 가격 변동 범위를 제공함으로써 사후 감사 시점에서 유의 미한 통찰을 제공하며, 투자자는 이를 활용해 투자 포트폴 리오의 위험성과 성과를 재평가하고 포트폴리오 조정에 대한 보다 정교한 결정을 내릴 수 있다.

Roberts[18]는 금융시장에 통계적 품질 관리도(statistical quality control chart) 개념을 처음 도입하여 전통적인 주식 차트의 분석적 주관성을 극복하고자 시도하였다. 이후 다 수의 연구자들이 Shewhart, CUSUM, EWMA 관리도를 포 함한 다양한 품질관리도 기법을 활용하여, 주식 투자 성과 의 모니터링 및 향상을 제안하였다[6, 25, 8, 14, 21, 22]. 그러나 기존의 전통적인 관리도 적용은 일반적으로 공정 모수인 평균(μ)과 표준편차(σ)가 알려져 있고, 관측 값들 이 독립적이고 동일한 분포(i.i.d)를 따른다는 가정을 전제 로 한다. 이러한 가정은 실제 금융 환경에서는 성립되지 않는 경우가 많아서 해당 방법들의 적용 가능성과 견고성 에 한계가 있다[24].

이러한 한계를 극복하기 위해 Tsiamyrtzis[9]는 베이지안 관리도(Bayesian control chart)의 활용을 제안하였다. 이 접근 법은 샘플링 간격이나 샘플 크기의 유연한 설정이 가능하며, 단기적․미세한 변화 감지에 효과적이라는 장점을 지닌다[21, 22, 12]. Prueitt and Park[17]은 투자 단위의 수익성과 변동성을 평가하기 위해 베이지안 접근법을 적용하였고, 수익률 하한선 (MRL: Minimum Return Limit) 개념을 도입하여 관리도 한계의 수용 여부를 판단하는 기준으로 사용하였다. 이와 유사하게 Herath and Park[10]은 프로젝트를 안정적(stable) 또는 불안정 (unstable)으로 분류하는 통합형 관리도(unified control chart)를 제안하여 경제적 해석의 정밀도를 높였다.

이러한 기존 연구들을 바탕으로 본 연구는 일일 고가 및 저가 주가 데이터에서 도출된 사후 감사(post-audit) 정보 를 활용한 베이지안 기반 주식 투자 의사결정 프레임워크를 제안한다. 제2장에서는 본 연구의 핵심 개념인 주식 현금흐 름 관리도(SCFCC: Stock Cash Flow Control Chart)를 소개하 며, 이는 전통적인 품질관리 메커니즘과 베이지안 통계 기법 을 통합하고 있다. 제3장에서는 정규-감마(Normal-Gamma) 확률분포를 기반으로 베이지안 관리도를 구성하는 절차를 Bolstad and Curran[3], 그리고 Pratt et al.[16]의 방법론에 따라 설명한다. 마지막으로 제4장에서 삼성전자 주식의 고 가․저가․종가 데이터를 기반으로 한 수치 예제(2010년 1월 ~ 2017년 5월)를 통해 제안된 프레임워크의 현실 적용 가능성과 활용성을 검증한다.

2. 주식 투자 의사결정 프레임워크

최근 연구 동향에 따르면 금융수익률은 정규분포를 따 르지 않으며, 강항 비정상성과 클러스터 현상을 보이고 있 다고 논의되고 있다[1-2]. 이를 기반으로 기존의 분포 가정 이 실제 시장 데이터에 적합하지 않을 수도 있으나, 본 연 구에서는 주가 데이터의 로그 변환을 통해 변동성을 최소 화하여 SCFCC의 분포 모델을 적용하도록 한다.

SCFCC는 외형상 전통적인 품질관리도와 유사해 보일 수 있으나, 그 목적과 활용 방식에서는 본질적인 차이를 가진다. SCFCC의 기초가 되는 핵심 가정과 이론적 기반 을 아래와 같다[6, 25, 17].

•상대적 변동성 표준화를 위해 주가는 로그 변환 (logarithmic transformation)하여 사용
•주가는 독립적이며 동일한 분포를 따르는 확률 변수 (Independent and Identically Distributed Random Variables, IIDRV)로 가정
•주가는 단기적인 통계적 안정성을 보이는 것으로 가정
•품질관리도(quality control chart)에서 사용되는 표본 크기(sample size), 집단 구조(subgroup structure) 및 샘플링 방식(sampling procedures)에 대한 기존의 통 계적 가정을 그대로 적용
•특정한 의사결정에 따라 투자 활동이 시작되면, 다음 투자 의사결정 시점까지 그 상태가 유지되는 것으로 가정
•자본이득 중심의 수익 정의
•투자 수익은 자본이득(capital gains)으로 정의

Duncan에 따르면 품질관리도는 (1) 통계적 관리 상태의 정의, (2) 해당 상태의 달성, (3) 상태 달성 여부의 판단이 라는 세 가지 주요 기능을 수행한다. 금융이라는 관점에서 Hubbard[11]는 관리도의 중심선(center line)이 장기 성장 기대치를 반영한 내재가치(normative intrinsic value)를 의 미한다고 설명하며, 이를 통해 관리도가 단순한 진단 도구 를 넘어, 전략적 투자 통찰을 제공하는 수단으로 해석될 수 있음을 강조한다. Hubbard의 모형에서, 상단 및 하단 관리한계선은 각각 과대평가(overvaluation)와 과소평가 (undervaluation)의 신호로 해석되며, 이는 매수 및 매도 판 단을 유도하는 역할을 한다. Prueitt and Park[17]는 전통적 인 관리도에 베이지안 업데이트(Bayesian updating) 개념 을 도입하였고, 이를 실물 투자 프로젝트의 성과와 변동성 을 모니터링하는 데 적용하였다. 이 프레임워크에서 시스 템이 관리 상태(in control)에 있다고 판단되는 기준은 확 률적 추정치가 실제 현금흐름과 정합성을 가질 때이다. 관 리한계 위반은 예측치의 부정확성을 나타내며, 이에 따라 베이지안 업데이트를 통해 분포 모수(parameter)를 수정해 야 함을 시사한다. 또한 이들은 MRL(Minimum Return Limit)이라는 새로운 통제 임계값을 도입하여 투자 의사결 정을 지원하고자 하였다. 이 구조에서 R-관리도(R-chart) 는 단순히 변동성을 모니터링하는 도구를 넘어서, 실시간 으로 분포 모수를 갱신하는 기능까지 수행한다.

본 연구는 두 이론적 접근을 절충한 하이브리드 해석 방식을 채택하였다. 즉, Hubbard의 신호 해석(signaling model)은 매수/매도 판단의 기준으로 활용되며, Prueitt와 Park의 베이지안 업데이트 기법은 새로운 데이터에 따른 투자 기대의 동적 수정(dynamic revision)을 가능하게 한 다. 이러한 접근에 따라, SCFCC(Stock Cash Flow Control Chart)는 두 개의 통합된 구성요소로 이루어진 베이지안 확장X-R 관리도(Bayesian-enhanced X-R control chart) 로 설계된다.

1) 기대 주식성과 관리도 (ESCFCC: Expected Stock Performance Control Chart)

전통적인 평균관리도(Xcontrol chart)에 해당하며, 주식 투자에 대한 기대 수익률(expected return)을 모 니터링하는 데 사용된다. 베이지안 업데이트 메커니 즘을 통합하여, 새로운 관측 값이 도입될 때마다 기 대 값을 동적으로 수정할 수 있도록 설계되었다.
2) 주식 성과 변동성 관리도 (VSCFCC: Variability of Stock Performance Control Chart)

전통적인 범위관리도(R control chart)에 해당하며, 주식 수익률의 분산(dispersion)과 변동성(volatility) 을 모니터링하는데 사용된다. 또한, 베이지안 업데이 트 절차를 통합하여, 최신 변동성 추정치를 지속적 으로 반영한다.

SCFCC 방법론에 대한 단계별 절차는 <Figure 1>에 정 리되어 있다.

Step 1: 분석에 사용하기 위한 일별 고가 및 저가 주가 데이터를 수집한다.
Step 2: 수집된 고가 및 저가 주가 데이터를 기반으로 PERT(Project Evaluation and Review Technique) 기법을 사용하여 3점 추정(비관적 추정치, 최빈 치, 낙관적 추정치)으로 베타 확률분포(Beta distribution) 를 도출한다.

3점 추정법(PERT 유형)을 통한 베타 확률분포(Beta distribution) 로 변환에는 세 가지 추정치가 필요하다: 비관적 추정치(L), 가장 가능성 높은 추정치(M₀), 낙관적 추정치 (H). 실제로는 가장 가능성 높은 추정치(M₀)를 구하기 어 려운 경우가 많기 때문에, 본 연구에서는 이를 L과 H의 중앙값(median)으로 간주한다[23]. 세 가지 추정치에 대한 베타 확률분포(Beta distribution)의 기댓값과 분산은 수식 (1)-(2)를 통해 계산한다.

E [X] = \frac{1}{6} (H + 4 M_{0} + L)

(1)

V a r [X] = {(\frac{H - L}{6})}^{2}

(2)

수식 (3)은 표준화 이전의 일반 베타 분포의 수학적 표 현을 나타낸다[7].

\begin{array}{l} f (y) = \frac{1}{B [α, β]} y^{α - 1} {(1 - y)}^{β - 1}, for 0 \leq y \leq 1 \\ w h e r e \\ y = (\frac{X - L}{H - L}) \end{array}

(3)

where

형상 모수 α, β로 정의되는 베타 확률분포(Beta dstribution) 의 기댓값, 최빈값, 분산은 다음과 같이 정의된다:

μ_{y} = \frac{α}{α + β}

(4)

M_{y} = \frac{α - 1}{α + β - 2}

(5)

α_{y}^{2} = \frac{α β}{(α + β + 1) {(α + β)}^{2}}

(6)

Fielitz[7], Greer[9], Park and Sharp[15]에 의해 α, β값은 수식 (4)-(5)와 수식 (7)-(8)을 연립하여 계산한다.

\frac{μ_{y} = E [X] - L}{H - L}

(7)

M_{y} = \frac{M_{0} - L}{H - L}

(8)

Step 3: 도출된 베타 분포의 분포 특성(distributional characteristics) 에 대한 기댓값(mean), 분산 (variance)을 추정한다.

α와 β가 모두 결정되면 해당 일반형 베타 확률분포 (Beta probability distribution)의 기대 값과 분산은 다음과 같이 표현된다.

μ_{X} = L + (H - L) μ_{y}

(9)

σ_{X}^{2} = {(H - L)}^{2} σ_{y}^{2}

(10)

Park and Sharp[15]는 형상 모수 α, β가 동일하고, 평균 비율 μ이 0.5일 경우 베타 확률분포는 대칭적인 형태를 갖는다고 주장하였다. 이러한 성질은 정규분포(normal distribution)의 대칭성과 유사하므로, 특정 가정 하에서 주 가 분포를 모형화하는데 베타 분포를 사용할 수 있다. 본 연구에서는 고가와 저가 주가 데이터를 베타 분포로 변환 하는 과정에서, 이 두 값의 중앙값(median)을 가장 가능성 높은 추정치(M₀)로 간주하였다[13].

수집된 저가와 고가 데이터에서 각 월별 데이터의 분산 이 0보다 크고 최소와 최대값의 차이가 있어 베타분포 추 정이 가능함을 확인할 수 있다(<Figure 2> 참조).

Step 4: ESCFCC의 관리한계선을 설정하기 위한 준비로, 표본 집단 평균의 표준편차(σ_X)를 계산한다.

정규분포의 평균과 분산이 결정되면, SCFCC를 구축할 수 있다. SCFCC는 전통적인 X - 관리도와 유사하기 때문 에, 식 (11)을 이용하여 SCFCC의 관리한계를 설정할 수 있다.

\bar{\bar{X}} = \sum_{j = 1}^{g} \frac{{\bar{X}}_{j}}{g}

(11)

where

g: number of samples
X_j : mean of group j, $\bar{X} = \frac{\sum_{j = 1}^{n} X_{j}}{n}$
$\bar{\bar{X}}$ : group mean of g samples

SCFCC를 최초로 구현하는 초기 단계에서는 초기 관측 값(first-period observation data)을 확보할 수 없기 때문에 소집단 평균의 기댓값(E [ $μ_{\bar{X}}$ ])을 사용하여 중심선(Center Line, CL)을 정의하고, 소집단 분산의 기댓값(E [ $σ_{\bar{X}}^{2}$ ])을 바 탕으로 $\pm σ_{\bar{X}}, \pm 3 σ_{\bar{X}}$ 등의 관리한계선(Control Limits)을 설정한다. Zmuk[25]는 자그레브 증권거래소(Zagreb Stock Exchange)에 상장된 주식을 대상으로 CUSUM, EWMA, I- 관리도를 활용해 투자수익성을 평가한 실증분석을 수행하 였다. 그 결과, 단기 투자에는 ± 2σ_X 한계가 더 나은 성과 를 보였고, 장기 투자에는 ± 3σ_X 한계가 더 효과적임을 확 인하였다. 그러나 다양한 투자기간에 대해 어떤 시그마 범 위(sigma range)가 최적인지에 대한 학문적 합의는 아직 없기 때문에 본 연구에서는 일반적으로 가장 널리 사용되 는 ± 3σ_X기준을 실용적 기본값(default)으로 채택하여 SCFCC를 구성하였다.

Step 5: 기대 수익률에 대한 관리한계선을 시각화하여 기대 주식 현금흐름 관리도(ESCFCC)를 구성한 다. 이때, 투자 판단 기준이 되는 최소 목표 수익 률(MTRL)을 설정하여 차트 내에 포함시킨다.

본 연구에서는 투자자의 경험적 통찰과 전문적 판단을 반영한 X와 σ″값을 기반으로 수식 (12), (13), (14)을 사용 하여 ESCFCC(Expected Stock Cash Flow Control Chart)의 관리한계선을 설정하였다[6].

U C L = (\bar{X^{″}}) + 3 \frac{σ^{″}}{\sqrt{n}} = \bar{X^{″}} + A σ^{″}

(12)

C L = \bar{X^{″}}

(13)

L C L = (\bar{X^{″}}) - 3 \frac{σ^{″}}{\sqrt{n}} = \bar{X^{″}} - A σ^{″}

(14)

where

A = \frac{3}{\sqrt{n}}

ESCFCC(Expected Stock Cash Flow Control Chart)의 상 한선(UCL)과 하한선(LCL) 사이에 관측값이 위치하는 패 턴은 초기 확률분포 추정값의 정확성을 평가하는 근거가 된다. 주식 투자 프로젝트의 수용 여부를 판단하기 위해 본 연구는 Prueitt and Park[17]가 제안한 최소 목표 수익 한계(MTRL, Minimum Target Return Limit) 개념을 참조 한다. <Figure 3>은 전통적인 관리한계선과 함께 MTRL 기준선이 포함된 ESCFCC의 기본 구조를 시각적으로 보 여준다.

실물 투자 프로젝트(real investment projects)에서 최소 목표 수익률(MTRL)은 일반적으로 순현재가치(NPV)가 0 이 되는 지점으로 정의된다. 반면, 금융 투자(financial investments) 서는 MTRL이 투자자가 도달하고자 하는 수익 률 기준치로 작용한다. 이러한 MTRL을 전통적인 품질관 리도(control chart)에 통합하면, 단순한 통계적 한계를 넘 어 수익 지향적 기준(return-oriented benchmark)을 제공하 여 보다 실질적인 투자 판단 기준을 가질 수 있다. MTRL 은 ESCFCC 내에서의 투자 의사결정 과정에서 중요한 역 할을 수행한다. 예를 들어서 주가의 샘플 평균이 MTRL 이하로 표시될 경우에는 바람직하지 않은 신호로 간주되 어 추가적인 모니터링과 분석이 요구된다.

Step 7. 주식 수익률의 변동성(volatility)을 추적․관리 하기 위해, 추정된 표준편차를 활용하여 변동성 기반 현금흐름 관리도(VSCFCC)를 구성한다.

전통적인 품질관리도에서 R-관리도는 샘플 그룹의 범 위(R)를 플로팅하여 공정의 산포(분산)를 통제하는데 사 용된다. R-관리도의 관리한계선(Control Limits)은 일반적 으로 다음과 같이 정의된다:

\bar{X} = \sum_{j = 1}^{g} \frac{R_{j}}{g}

(15)

where

R : mean of sample group
Rj: range of sample, $R_{j} = X_{j}^{\max} - X_{j}^{\min}$

ESCFCC에서와 마찬가지로 VSCFCC의 관리한계선은 추정값이 실제 샘플 데이터 기반인지 또는 투자자의 주관 적 정보 기반인지에 따라 달라진다. 공정의 분산(σ²) 이 투 자자의 경험이나 전문가 판단에 기반한 주관적 추정값인 경우에는 VSCFCC의 관리한계선은 샘플 범위가 아닌 표 준편차 기반 공식을 사용하여 설정된다:

U C L_{R} = d_{2} σ^{″} + 3 d_{3} σ^{″} = D_{2} σ^{″}

(16)

C L_{R} = d_{2} σ^{″}

(17)

L C L_{R} = d_{2} σ^{″} - 3 d_{3} σ^{″} = D_{1} σ^{″}

(18)

where

\begin{array}{l} D_{2} = (d_{2} + 3 d_{3}) \\ D_{1} = (d_{2} - 3 d_{3}) \end{array}

<Figure 4>는 VSCFCC(주가 변동성 관리도)의 기본 구조 를 보여준다. 투자자가 주관적으로 제공한 σ″값은 관리한 계선 설정에 핵심적인 역할을 하며, 이 값의 설정은 신중하 게 이루어져야 한다. σ″가 과소 추정되면 존재하지 않는 이상 원인을 경고할 수 있으며 과대 추정되면 실제 변화조 차 감지하지 못할 수 있다. 그러나 전통적인 R-관리도와 달리 SCFCC의 목적은 단순히 데이터가 관리한계 내에 있 는지를 판단하는 것이 아니라 관측된 투자성과 데이터를 지속적으로 모니터링하고 업데이트하는 것이다. 따라서, σ″값의 절대 정확성보다 시간에 따른 추정값의 점진적 개 선이 더 중요하다. ESCFCC와 VSCFCC의 신뢰성을 유지하 기 위해서는 새롭게 관측된 데이터를 반영하여 관리한계선 을 주기적으로 수정해야 한다. 특히, VSCFCC가 불안정 상 태에서 안정 상태로 전환되는 경우에는 해당 프로세스의 불확실성이 줄어들었고, 새롭게 업데이트된 추정치가 초기 추정보다 더 정확하고 대표성이 높다는 것을 의미한다.

Step 8: 사전 정규-감마 분포의 네 가지 매개변수인 m ′, n′, d′, $v^{'}$ 를 설정한다. 각각은 사전 평균 (prior mean), 정밀도 비율(scaling factor), 형태 (shape), 그리고 척도(scale) 매개변수에 해당한다.

주가가 정규분포를 따른다는 것이 확인되면, 주어진 샘 플 크기 n에 대해 모집단 평균( $μ_{\bar{X}}$ )과 분산( $σ_{\bar{X}}^{2}$ )을 알 수 없다고 가정하고 베이지안 수정 과정을 거친다. $μ_{\bar{X}}$ 이 알 려지지 않은 경우, 그에 대한 기댓값 E [ $μ_{\bar{X}}$ ]과 분산E [μ_X] 을 추정해야 하며, $σ_{\bar{X}}^{2}$ 이 미지인 경우에도 마찬가지로 기 댓값 E [ $σ_{\bar{X}}^{2}$ ]과 분산 Var[ $σ_{X}^{2}$ ]을 도출해야 한다. 단순화를 위 해 샘플 집단 내 변수들 간의 공분산은 0이라고 가정한다.

E [μ_{X}] = E [μ_{\bar{X}}]

(19)

V a r [μ_{X}] = n V a r [μ_{\bar{X}}]

(20)

E [σ_{X}^{2}] = n E [σ_{\bar{X}}^{2}]

(21)

V a r [σ_{X}^{2}] = n V a r [σ_{\bar{X}}^{2}]

(22)

베이지안 수정 과정에서 통상적으로, 정규분포 하에서 표본 평균과 분산이 모두 미지수일 경우에 이 두 매개변수 $μ_{\bar{X}}$ 와 $σ_{\bar{X}}^{2}$ 에 대한 결합 사전분포가 요구된다. 이러한 상황 에 대한 켤레 사전분포는 정규-감마 분포(Normal-Gamma Distribution)이며, 정규 우도함수와 함께 사용될 때 동일한 분포족의 사후분포를 제공한다.

사전분포(prior distribution)는 정규-감마 분포를 따른다.
우도함수(likelihood function)는 정규분포이다.
사후분포(posterior distribution)도 동일하게 정규-감마 분포가 된다.

이 틀에서 분산 $σ_{\bar{X}}^{2}$ 이 고정된 값으로 알려져 있다고 가 정하면 평균 $μ_{\bar{X}}$ 의 조건부 분포는 다음과 같은 정규분포를 따른다:

μ_{\bar{X}}^{2} \sim N (m^{'}, \frac{1}{n^{'} τ})

여기서 m′와 n ′는 사전 분포의 매개변수이며, τ는 분포 의 정밀도(precision)를 나타낸다. (′) 표기는 관측값이 아 닌 사전 지식이나 주관적 신념에 기반한 정보를 나타낸다. 정밀도 매개변수 τ′의 주변확률분포(marginal distribution) 는 감마 분포를 따르며, 이는 수식 (23)에서 정의된다[16, 17, 19].

\begin{matrix} f (τ | d, n u) = \frac{{(d^{'} ν^{'} / 2)}^{d^{'} / 2}}{Γ (d^{'} / 2)} [{τ^{\frac{d^{'}}{2} - 1}} {e^{- \frac{d^{'} ν^{'}}{2} τ}}] \\ = \frac{{(d^{'} ν^{'} τ / 2)}^{\frac{d^{'}}{2} - 1} (d^{'} ν^{'} / 2) e^{d^{'} ν^{'} / 2}}{Γ (d^{'} / 2)}, f o r τ > 0 \end{matrix}

(23)

where

d′ν′ > 0: parameters of a gamma probability distribution

\begin{array}{l} E [τ] = \frac{d^{'} / 2}{d^{'} ν^{'} / 2} = \frac{1}{ν^{'}} \\ V a r [τ] = \frac{d^{'} / 2}{{(d^{'} ν^{'} / 2)}^{2}} = \frac{2}{d^{'} ν^{'}} \end{array}

수식 (23)에서 정의된 정밀도 매개변수 의 주변확률분 포와 식 (24)의 조건부 확률분포를 결합함으로써, 우리는 정규-감마 분포(normal-gamma distribution) 형태의 결합 사전확률분포를 얻게 되며, 이는 식 (25)에서 제시된다.

μ_{\bar{X}} \sim N (m^{'}, \frac{1}{n^{'} τ})

(24)

\begin{array}{l} f (μ_{\bar{X}}, τ | m^{'}, n^{'}, d^{'}, ν^{'}) \\ = f (μ_{\bar{X}}, τ | m^{'}, n^{'}, ν^{'}) f (τ | d^{'} ν^{'}) \\ = {(\frac{n^{'} τ^{'}}{2 π})}^{1 / 2} E x p [- \frac{n^{'} τ}{2} {\bar{x}}_{j - μ_{\bar{X}}}^{2}] \\ \frac{{(\frac{d^{'} ν^{'} τ}{2})}^{\frac{d^{'}}{2} - 1} (\frac{d^{'} ν^{'}}{2}) E x p [- \frac{d^{'} ν^{'} τ}{2}]}{Γ (\frac{d^{'}}{2})} \\ = {(\frac{n^{'} τ}{2} π)}^{\frac{1}{2}} E x p [- \frac{n^{'} τ}{2} {{({\bar{X}}_{j} - μ_{\bar{X}})}^{2} + d^{'} ν^{'}}] \\ \frac{{(\frac{d^{'} ν^{'} τ}{2})}^{\frac{d^{'}}{2} - 1} (\frac{d^{'} ν^{'}}{2})}{Γ (d^{'} / 2)} \end{array}

(25)

수식 (25)의 결합 사전분포(joint prior distribution)를 정 밀도 매개변수 τ′에 대해 적분하면, 결과적으로 $μ_{\bar{X}}$ 의 주변 분포(marginal distribution)는 스튜던트의 t-분포를 따른다. 이 분포의 기댓값과 분산은 각각 수식 (26)와 (27)에서 제 시된다[3, 4, 16, 17, 19].

E [μ_{\bar{X}}^{2}] = m^{'}, f o r d^{'} > 1

(26)

V a r [σ_{\bar{X}}^{2}] = \frac{d^{'} ν^{'}}{n^{'} (d^{'} - 2)}, f o r d^{'} > 2

(27)

Prueitt and Park[17]는 식 (26)-(27)을 활용하여 실물 투 자 프로젝트의 순현재가치(NPV)를 관리하는 상세한 방법 론을 제시하였다. 본 연구에서는 이와 유사하게 주가 데이 터로부터 도출된 사전 추정치를 활용하여 정규-감마 사전 분포(normal-gamma prior distribution)와 그에 따른 매개변 수 m′, n′, d′, $v^{'}$ 를 수식에 따라 설정할 수 있다. 일단 사전 분포가 설정되고 표본 데이터가 수집되면, 이에 따라 사후 분포(posterior distribution)를 갱신할 수 있다[4, 16, 17, 19]. 이때 사후 정규-감마 분포의 구조는 사전분포와 형식 적으로 동일하며, 해당 사후 매개변수들은 이중 프라임 (double primes, ″)으로 표기되며 식 (28)-(31)에 정의되어 있다.

m^{″} = \frac{m^{'} m^{'} + g m}{n^{'} + g}

(28)

n^{″} = n^{'} + g

(29)

d^{″} = d^{'} + g

(30)

ν^{″} = \frac{d^{'} ν^{'} + {n^{'}}^{m^{'} 2} + (g - 1) ν - n^{″} {m^{″}}^{2}}{d^{″} + g}

(31)

where

$v$ : sample variance, $v = \frac{\sum_{j}^{g} {({\bar{X}}_{j} - m)}^{2}}{g - 1}$
m: mean of sample group
g : number of sample groups

SCFCC에서 안정적인 추세가 관찰될 때까지 주가 데이 터를 지속적으로 수집하고 투자 결정을 갱신하는 것이 바 람직하다. 이와 같은 순차적 베이지안 프레임워크에서는 현재의 사후 확률분포가 다음 단계의 사전 확률분포로 사 용된다.

Step 9: 새롭게 관측된 주가 데이터를 ESCFCC와 VSCFCC에 각각 입력한다. 만약 하나라도 관 리한계선을 초과하는 경우, 해당 이상 현상을 설명할 수 있는 특정 원인(assignable cause)을 파악하고 분석한다.
Step 10: 베이지안 갱신(Bayesian revision) 과정을 통해 $μ_{\bar{X}}$ 와 σ_X의 매개변수를 업데이트한다. 이 업데 이트된 값을 기반으로 ESCFCC와 VSCFCC를 다시 구성하고, 다음 관측 및 의사결정 주기에 대비한다.
Step 11: 통계적 가정을 검증하기 위해, 관측된 데이터 의 독립성(independence)과 정규성(normality) 을 평가한다.
Step 12: 투자 프로세스가 완료되거나 종료될 때까지 6 단계부터 11단계까지를 반복 수행한다.

3. 사례 연구(Illustrative Example)

이 절에서는 제안된 SCFCC 방법론의 적용을 설명하기 위해 한국거래소(KRX)에 상장된 삼성전자 주가 데이터를 사용하였다. 분석에 사용된 데이터는 2010년 1월 4일부터 2017년 5월 31일까지의 수집된 일일 고가, 저가, 종가로 구성되며, Data Guide로부터 확보되었다.

3.1 초기 사전확률 분포

이 예시 분석의 첫 단계는 2010년 월별 주가 데이터를 바탕으로 초기 사전 확률분포를 설정하는 것이다. 원자료 는 일별 저가와 고가 주가로 구성되어 있으나, 분석 목적 에 맞게 이를 월별로 요약하여 활용하였다. 사전 확률분포 를 도출하기 위해 세 점 추정법(3-point estimation)을 이용 하여 월별 주가를 베타(Beta) 확률분포로 변환하였다. 이 방법은 일반적으로 비관적, 최빈, 낙관적 값을 필요로 한 다. 본 연구에서는 월별 저가를 비관적 값으로, 고가를 낙 관적 값으로 설정하였으며, 월별 주가에서 최빈값을 직접 추정하는 것이 어려운 점을 고려하여, 저가와 고가의 중앙 값을 최빈값의 대체치로 활용하였다.

베이지안 프레임워크를 구성하기 위한 첫 단계는 베타 (Beta) 확률분포의 두 형태 모수인 α와 β를 결정하는 것이 다. 이 분포는 초기 사전 확률분포의 기반이 된다.

<Table 1>에 제시된 월간 요약 데이터를 바탕으로 사전 분포의 기댓값과 분산을 각각 E [μ_x ] = 13.594와 Var[μ_x ] = 0.003으로 계산하였다. 이 값들을 통해 베타 분포의 형태 모수는 σ = 6, β = 64.570으로 결정되었다. 또한, 분산 모수 의 기대값과 분산은 역감마(Inverse Gamma) 분포로부터 각각 $E [σ_{x}^{2}] = 0.003, V a r [σ_{x}^{2}] = 0.000$ 으로 도출하였다.

월별로 요약된 사전데이터의 샘플크기는 12이며 각 월 별 평균값은 각기 하나의 분포로 요약되므로 샘플 그룹의 수(g)는 1로 정의한다. 이를 바탕으로 샘플 그룹의 형태 특성을 나타내는 모수는 다음과 같이 계산된다.

\begin{array}{l} E [μ_{\bar{x}}] = E [μ_{x}] = 13.594 \\ V a r [μ_{\bar{x}}] = \frac{1}{n} V a r [σ_{μ_{x}}^{2}] = 0.002 \\ E [σ_{\bar{x}}^{2}] = \frac{1}{n} E [σ_{x}^{2}] = 0.002 \\ V a r [σ_{\bar{x}}^{2}] = \frac{1}{n} V a r [σ_{x}^{2}] = 0.000 \end{array}

이제 앞서 도출된 파라미터를 바탕으로 베이지안 X-관 리도와 R-관리도를 구축할 수 있다. 중심선 $C L = m^{'} = E [μ_{\bar{x}}] = 13.594$ 을 기준으로 3시그마 한계를 적용하여 ESCFCC의 초기 관리한계를 다음과 같이 설정하였다.

\begin{matrix} U C L_{\bar{x}} = m^{'} + 3 σ \sqrt{E [σ_{\bar{x}}^{2}]} \\ = 13.594 + 3 \sqrt{0.0002} = 13.638 \end{matrix}

(21)

C L_{\bar{x}} = m^{'} = 13.574

(22)

\begin{matrix} L C L_{\bar{x}} = m^{'} - 3 σ \sqrt{E [σ_{\bar{x}}^{2}]} \\ = 13.593 - 3 \sqrt{0.0002} = 13.550 \end{matrix}

(23)

\begin{matrix} M R L = \frac{x - m^{'}}{\sqrt{V a r [μ_{\bar{x}}]}} \sqrt{E [σ_{\bar{x}}^{2}]} + m^{'} \\ = \frac{12.914 - 13.594}{\sqrt{0.0002}} \sqrt{0.0002} + 13.594 \\ = - 0.068 \end{matrix}

(24)

x는 m′보다 5% 낮은 값으로 설정되어 손절 기준 (stop-loss threshold) 역할을 한다. MRL(Minimum Return Limit)의 정의를 재확인하고 필요시 다른 방식으로 설정하 는 것도 고려할 수 있다. R 관리도의 관리한계는 다음과 같이 주어진다:

\begin{array}{l} U C L_{R} = D_{2} \sqrt{V a r [μ_{\bar{x}}]} = 4.698 \sqrt{0.0002} = 0.069 \\ C L_{R} = D_{2} \sqrt{V a r [μ_{\bar{x}}]} = 2. - 59 \sqrt{0.0002} = 0.030 \\ L C L_{R} = D_{1} \sqrt{V a r [μ_{\bar{x}}]} = 0 \end{array}

<Table 2>와 <Table 3>은 각각 초기 X-관리도와 R-관 리도의 관리한계 값을 제시한다.

사후 확률분포를 구현하기 위해서 정규-감마(Normal- Gamma) 분포의 네 가지 모수를 산출해야 한다. 이후 본 논문에서는 단일 프라임(′) 기호를 사전 확률분포의 모수 를, 이중 프라임(″) 기호를 사후 확률분포의 모수를 나타 내는 데 사용한다. 사전 확률분포의 모수는 다음과 같이 정의된다:

\begin{array}{l} E [μ_{\bar{x}}] = m^{'} = 13.594 \\ E [σ_{\bar{x}}^{2}] = \frac{δ^{'} ν^{'}}{(δ^{'} - 2)} = 0.0002 or ν^{'} = 0.0002 \frac{δ^{'} - 2}{δ^{'}} \\ V a r [σ_{\bar{x}}^{2}] = \frac{2 {δ^{'}}^{2} {ν^{'}}^{2}}{{δ^{'}}^{2} - 2) (δ^{'} - 4)} = 0.0000 \end{array}

위의 식을 δ′와 ν′에 대해 풀면 형상 모수(shape parameter) 와 척도 모수(scale parameter)를 얻을 수 있다. 또한, 아 래의 식을 통해 스케일링 계수(scaling factor) k′ = 2도 도 출할 수 있다.

V a r [μ_{\bar{x}}] = \frac{δ^{'} ν^{'}}{k^{'} (δ^{'} - 2)} = 0.0002

직전에 도출된 사전 분포의 값과 2011년 1월의 표본 데 이터로부터 계산된 베타분포의 기댓값과 분산을 바탕으로 2011년의 베타확률 분포값을 갱신한다.

\begin{array}{l} m^{″} = \frac{k^{'} m^{'} + g m}{k^{'} + g} = \frac{12 (13.594) + 1 (13.771)}{1 + 1} = 13.682 \\ k^{″} = k^{'} + g = 1 + 1 = 2 \\ δ^{″} = δ^{'} + g = 12 + 1 = 13 \\ ν^{″} = \frac{δ^{'} ν^{'} + {k^{'}}^{{m^{'}}^{2}} + (g - 1) ν + g m^{2} - l^{″} {m^{″}}^{2}}{δ^{'} + g} \\ = \frac{12 (0.00014) + 1 ({13.594}^{2}) + (1 - 1) (0.0000) + 1 ({13.771}^{2}) - 2 ({13.682}^{2}}{12 + 1} \end{array}

사후 확률분포의 네 가지 모수를 도출한 후, 이를 기존 의 사전 확률분포 모수에 대체하여 사후 확률분포의 갱신 된 기댓값과 분산을 계산할 수 있다.

\begin{array}{l} E [μ_{\bar{x}}] = m^{'} = 13.682 \\ V a r [μ_{\bar{x}}] = \frac{ν^{'} δ^{'}}{k^{'} (δ^{'} - 2)} = 0.000814 = {0.028531}^{2} \\ E [σ_{\bar{x}}^{2}] = \frac{ν^{'} δ^{'}}{(δ^{'} - 2)} = 0.00163 \\ V a r [σ_{\bar{x}}^{2}] = \frac{2 {ν^{'}}^{2} {δ^{'}}^{2}}{(δ^{'} - 2) (δ^{'} - 4)} = 0.0000 \end{array}

<Table 4>에서 확인할 수 있듯이, 관측된 평균 주가는 지속적으로 중심선 위에 있으며 최소 목표 수익률(MRL) 을 크게 상회하여 강건하고 안정적인 투자 성과를 나타냈 다. 관측 기간 동안 관리한계를 벗어난 사례는 없었으며, 전반적으로 통계적으로 안정된 상태를 유지하였다. 한편, 상한선의 점진적인 상승 추세는 시장의 모멘텀이나 변동 성 증가에 따른 성과 변동성 확대를 시사한다.

4. 결 론

본 연구는 실시간으로 투자 성과와 리스크를 평가할 수 있도록 일일 고가와 저가 데이터를 활용한 순차적 주식 현금흐름 관리도(SCFCC) 프레임워크를 제안하였다. 통계 적 품질관리도와 베이지안 확률 모형을 통합하여 투자 기 간 전반에 걸쳐 투자 정보를 연속적으로 업데이트하고 성 과를 동적으로 모니터링할 수 있는 체계를 구축하였다. 제 안된 방법론의 실증적 타당성을 검증하기 위해, 2010년부 터 2017년까지 삼성전자 주가 데이터를 기반으로 사례 분 석을 수행하였다. 이를 통해 SCFCC 접근법의 강건성과 실무적 유연성을 추가로 검증하였다. 이러한 분석 결과는 투자자가 종가 데이터만으로도 투자 성과와 리스크를 관 리할 수 있지만, 고가-저가 데이터를 추가로 활용할 경우 투자 기간 중간의 가격 변동 정보를 보다 효과적으로 반영 할 수 있다는 점을 시사한다. 본 연구의 주요 공헌점은 다 음과 같다:

(1) 금융 투자 분야에 품질관리도 개념 도입

본 연구는 제조 및 공정 품질관리에 주로 활용되어 온 통계적 관리도(statistical control chart) 개념을 금융 투자 의사결정 분야에 적용함으로써, 투자 성과를 계량적으로 모니터링하고 관리할 수 있는 새로운 실무적 접근방식을 제시하였다.
(2) 고가-저가 데이터의 활용 가능성 실증

본 연구는 고가-저가 주가 데이터를 활용한 유용성과 효과성을 실증함으로써, 종가에 의존하던 기존의 분석 관 행을 재고하고 투자 성과 모니터링의 분석 범위를 확장하 였다.
(3) 베이지안 통계와 관리도의 융합

베이지안 확률 모형과 관리도 기법의 융합을 통해 투자 성과와 그에 수반되는 불확실성을 동적으로 추정하고 실 시간으로 모니터링할 수 있는 체계를 구축하였다.
(4) 실시간 투자성과 모니터링 체계 제안

투자자의 사전 정보와 실제 관측된 주가 데이터를 통합 함으로써, 본 연구에서 제안한 SCFCC 프레임워크는 투자 기간 전반에 걸쳐 성과와 위험의 변화를 지속적으로 추적 할 수 있는 통계적 의사결정 지원 체계를 구축하였다.

하지만, 본 연구는 주가의 저가와 고가를 데이터로 활용하 고 있기 때문에 하루 중 가장 높은 혹은 낮은 가격의 극단값 (outlier)에 민감할 수 있다. 또한 고가와 저가 수익률 평가는 이론적 최대와 최소를 가정으로 하고 있어 실제 매도 매수에 서의 적용 가능성을 고려해야 하는 부분이 있다.

이러한 한계에도 극복하기 위해 본 연구에서 제안한 프 레임워크의 적용 가능성을 보다 다양한 주식 및 자산군에 걸쳐 검증하기 위한 후속 연구가 필요하다. 아울러, 사전 확률분포의 구성 방식을 최적화하고, 투자자의 행동 특성 과 위험 성향을 반영한 맞춤형 의사결정 지원 전략을 개발 하는 방안도 향후 연구 과제로 제안된다.

Acknowledgement

이 논문은 조선대학교 연구지원금의 지원을 받아 연구 되었음(2022).

Figure

<Figure 1>.

Control Limit of ESCFCC

<Figure 2>.

Monthly Scaled Variance

<Figure 3>.

Control Limit of ESCFCC

<Figure 4>.

Control Limit of VSCFCC

Table

<Table 1>.

Log-transformed Monthly Summary Data for Constructing a Beta Probability Distribution

Month	LSPA	HSPA	Median	α	β	Beta Prob. Dist.	DLH
Jan	13.6	13.62	13.61	0.5	3	3	13.61	0.022
Feb	13.53	13.55	13.54	0.5	3	3	13.54	0.021
Mar	13.57	13.59	13.58	0.5	3	3	13.58	0.017
Apr	13.64	13.66	13.65	0.5	3	3	13.65	0.02
May	13.57	13.59	13.58	0.5	3	3	13.58	0.022
Jun	13.58	13.6	13.59	0.5	3	3	13.59	0.018
Jul	13.58	13.6	13.59	0.5	3	3	13.59	0.018
Aug	13.57	13.58	13.58	0.5	3	3	13.57	0.014
Sep	13.54	13.56	13.55	0.5	3	3	13.55	0.019
Oct	13.53	13.55	13.54	0.5	3	3	13.54	0.017
Nov	13.58	13.6	13.59	0.5	3	3	13.59	0.022
Dec	13.71	13.73	13.72	0.5	3	3	13.72	0.02

<Table 2>.

Data for X-control Chart

^*MRL = m′×0.95 = 13.594×0.95 = 12.914

LCL	CL	UCL	MRL	P(X<MRL)	Observed Value
13.550	13.594	13.638	12.914	0.000	13.724

<Table 3>.

Data for Prior R-control Chart

^*MRL = m′×0.95 = 13.594×0.95 = 12.914

LCLR	CLR	UCLR	Observed Value
0.000	0.030	0.069	0.020

<Table 4>.

Data for X-control chart

Year	Month	LCL	CL	UCL	MRL	Observed Avg.
2010	Dec	13.55	13.594	13.638	12.914	13.772
2011	Jan	13.561	13.682	13.803	12.596	13.764
2011	Feb	13.58	13.711	13.842	12.33	13.71
2011	Mar	13.585	13.711	13.836	12.117	13.716
2011	Apr	13.591	13.712	13.833	11.928	13.704
2011	May	13.593	13.711	13.828	11.759	13.655
2011	Jun	13.583	13.703	13.823	11.616	13.656
2011	Jul	13.576	13.697	13.818	11.483	13.514
2011	Aug	13.51	13.677	13.844	11.388	13.57
2011	Sep	13.49	13.666	13.843	11.287	13.702
2011	Oct	13.496	13.669	13.842	11.164	13.789
2011	Nov	13.495	13.679	13.863	11.029	13.867
2011	Dec	13.48	13.693	13.907	10.883	13.885

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