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ISSN : 2005-0461(Print)
ISSN : 2287-7975(Online)

Journal of Society of Korea Industrial and Systems Engineering Vol.39 No.1 pp.116-122
DOI : https://doi.org/10.11627/jkise.2016.39.1.116

Design of the Robust CV Control Chart using Location Parameter

Dong-Jin Chun

, Young-Bae Chung†

Department of Industrial and Management Engineering Incheon National University

Corresponding Author : ybchung@incheon.ac.kr

Received February 8, 2016 Finally Revised March 15, 2016 Accepted March 16, 2016

Abstract

Recently, the production cycle in manufacturing process has been getting shorter and different types of product have been produced in the same process line. In this case, the control chart using coefficient of variation would be applicable to the process. The theory that random variables are located in the three times distance of the deviation from mean value is applicable to the control chart that monitor the process in the manufacturing line, when the data of process are changed by the type of normal distribution. It is possible to apply to the control chart of coefficient of variation too. x , s estimates that taken in the coefficient of variation have just used all of the data, but the upper control limit, center line and lower control limit have been settled by the effect of abnormal values, so this control chart could be in trouble of detection ability of the assignable value. The purpose of this study was to present the robust control chart than coefficient of variation control chart in the normal process. To perform this research, the location parameter, xα , sα were used. The robust control chart was named Tim-CV control chart. The result of simulation were summarized as follows; First, P values, the probability to get away from control limit, in Trim-CV control chart were larger than CV control chart in the normal process. Second, ARL values, average run length, in Trim-CV control chart were smaller than CV control chart in the normal process. Particularly, the difference of performance of two control charts was so sure when the change of the process was getting to bigger. Therefore, the Trim-CV control chart proposed in this paper would be more efficient tool than CV control chart in small quantity batch production.

Key Words : Coefficient of Variation , Location Parameter , Small Quantity Batch Production

위치모수를 이용한 로버스트 CV 관리도의 설계

전 동진, 정 영배†

인천대학교 산업경영공학과

초록

키워드 :

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Cited-By

Funding:

1서 론

통계적 공정관리의 가장 대표적인 관리기법은 관리도 (control chart)를 사용하여 공정을 관리하는 것이다. 일반 적으로 x-R 관리도와 x-s 관리도가 가장 널리 사용되 고 있다. 최근의 제조 공정은 과거와 비교해서 점점 기계 의 첨단화, 자동화가 진행되고 있다. 또한 제품의 생산 주기가 점점 짧아지고 있으며, 하나의 생산 공정에서 여 러 종류의 제품을 생산하는 경우가 많아지고 있다[2]. 이 와 같이 생산 주기가 짧고 여러 가지 제품을 생산하는 공정에서 기존의 x–R 관리도나 x-s 관리도로 공정을 관리하기는 매우 불편한 업무이다. 이는 작업측면은 물 론이고 비용적인 면에서도 매우 비효율적인 방법이라 할 수 있다. 변동계수(CV : coefficient of variation) 관리도는 이와 같이 다품종 소량생산을 하는 제조 공정을 관리할 목적으로 연구되었다[3, 5].

정규분포를 가정한 제조 공정에서는 평균을 중심으로 편차의 3배 거리 안에 확률변수가 존재해야 한다는 이론 에 근거하여 관리도를 작성할 수 있다. CV 관리도 역시 정규분포를 가정한다면 이 이론에 근거하여 관리도를 작 성하는 것이 가능하다. 그러나 CV 관리도의 변동계수를 추정하기 위한 x , s 추정치는 표본의 모든 데이터를 사 용하여 관리도로 표현한다는 장점이 있으나, 관리선이 이상 관측치에 민감하게 반응하여 설정되기 때문에 관리 도가 해야 하는 본연의 기능인 이상원인 탐지능력에 문 제가 생길 수 있다.

본 논문에서는 관리도의 성능을 개선시키기 위해 기 존의 변동계수를 추정하기 위한 x , s보다 이상 관측치에 강건하게 반응하여 관리선을 설정하는 추정치를 CV 관 리도에 적용하였다. 강건한 추정치는 Schoonhoven, Riaz and Does[9, 10]에 의해 증명되어진 여러 가지 평균치와 산포의 추정치 중 평균 제곱 오차의 변화가 적은 추정치 중 하나인 절사하는 방법을 이용하였다. 정규분포에 근 거한 제조 공정에서 위치 모수를 이용하여 설계한 새로 운 CV 관리도가 3시그마 이론에 기초한 일반적인 CV 관리도와 비교하여 어떠한 차이를 나타내는지 시뮬레이 션을 통해 확인하였다. 본 논문에서는 새로운 CV 관리 도를 Trim-CV 관리도라 명명하였다.

본 논문의 나머지 부분은 다음과 같이 구성되어 있다. 제 2장은 이론적 배경으로 변동계수의 특성에 대해 알아 보고, 위치모수의 개념을 살펴볼 것이다. 제 3장에서는 위치 모수를 적용하여 생성된 Trim-CV 관리도의 이론과 관리도의 성능을 판단할 기준을 제시하였다. 제 4장에서 는 수치 예제를 통해 관리도의 성능 비교를 하였다. 마지 막으로 제 5장에서는 결과를 요약하고, 이에 대한 시사 점과 향후 연구 방향을 제시하였다.

2이론적 배경

2.1CV 관리도

2.1.1변동계수의 특성

CV 관리도에서 사용하는 변동계수는 표본의 표준편차 를 표본의 평균으로 나눈 값으로 변량의 산포를 평균에 대비해 나타내는 상대적 개념의 통계량(statistic)으로 정규분 포를 따르는 모집단에서 정의된다. 즉, 확률변수(random variable) X가 평균이 μ이고 분산이 σ²인 정규분포를 따를 때, 모집단의 변동계수는 다음 식 (1)과 같이 구해진다.

γ = \frac{σ}{μ}

(1)

이 모집단으로부터 얻은 표본 X_i 가 X_i ~N (μ, σ²), i = 1, 2, …, n일 때, 표본 변동계수(sample coefficient of variation) 는 다음 식 (2)와 같이 구해진다.

W = \frac{s}{\bar{x}}

(2)

여기서, x 와 s는 각각 표본 X_i 의 평균과 표준편차를 의 미한다. 변동계수는 단위(unit)를 갖지 않는 통계량이므로 이를 이용하여 서로 다른 집단 간 산포의 상대적 비교가 가능하다. 이러한 경우 관리도의 모수는 변동계수가 되 고 평균의 차이에 상관없이 동일한 기준으로 변동을 감 시한다[4]. 변동계수는 다품종 소량생산을 하는 제조 공 정에서 제품의 산포 관리, 의료기기의 성능 평가, 실험실 측정 장비의 재현성 평가 등에 유용하게 사용된다[6].

2.1.2변동계수의 평균과 분산

Reh and Scheffler[7]은 변동계수가 양수일 때 변동계 수의 근사적인 평균과 분산 추정 방법을 제시하였다. 확 률변수 X 가 평균이 μ이고 분산이 σ²인 정규분포를 따르 고 양수인 경우만을 가정하면, 변동계수의 평균과 분산 은 근사적으로 식 (3), 식 (4)를 이용하여 구할 수 있다. 변동계수의 근사분포에 대한 연구는 대부분 양수로 가정 한다[11].

\begin{matrix} E (W) \approx γ [1 + \frac{1}{n} (γ^{2} - \frac{1}{4}) + \frac{1}{n^{2}} (3 γ^{4} - \frac{γ^{2}}{4} - \frac{7}{32}) \\ + \frac{1}{n^{3}} (15 γ^{6} - \frac{3 γ^{4}}{4} - \frac{7 γ^{2}}{32} - \frac{19}{28})] \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} V a r (W) \approx γ^{2} [\frac{1}{n} (γ^{2} + \frac{1}{2}) + \frac{1}{n^{2}} (8 γ^{4} + γ^{2} + \frac{3}{8}) \\ + \frac{1}{n^{3}} (64 γ^{6} + \frac{7 γ^{4}}{2} + \frac{3 γ^{2}}{4} - \frac{3}{16})] \end{matrix}

(4)

(단, γ는 모집단의 변동계수, n은 표본의 크기)

실제 제조 공정에서 모집단 변동계수 γ를 구하는 것 은 불가능하므로 Connett and Lee[1]이 주장한 γ를 추정 하는 방법을 이용할 수 있다. Connett and Lee[1]이 주장한 모집단의 변동계수 γ의 추정치 γ̂ 은 다음 식 (5)와 같다.

\hat{γ} = \sqrt{\frac{\sum_{i} (n_{i} - 1) W_{i}^{2}}{\sum_{i} (n_{i} - 1)}}

(5)

여기서 ni는 i번째 부분군의 크기이며 W_i 는 각 부분군 의 변동계수를 의미한다. 각 부분군의 크기는 i와 상관 없이 동일하게 설정되는 것이 일반적이다.

정규분포를 가정한 CV 관리도의 관리상한선(UCL : upper control limit), 중심선(CL : center line), 관리하한선 (LCL : lower control limit)은 3시그마에 기초하여 다음 식 (6)~식 (8)과 같이 구할 수 있다. 변동계수는 Wong and Wu[11]에서 양의 값을 가정하므로 음의 값은 고려 하지 않는다.

U C L = E (W) + 3 \sqrt{V a r (W)}

(6)

C L = E (W)

(7)

L C L = E (W) - 3 \sqrt{V a r (W)}

(8)

2.2Rocke의 평균치 추정치

Rocke[8]은 자신의 논문에서 평균치의 강건한 추정치 로 다음 식 (9)와 같이 절사 방법을 이용한 평균치 추정 치를 제시하였다.

{\bar{\bar{X}}}_{α} = \frac{1}{k - 2 ⌈ k α ⌉} \times [\sum_{v = ⌈ k α ⌉ + 1}^{k - ⌈ k α ⌉} {\bar{X}}_{(v)}]

(9)

이 추정치는 각 부분군의 평균을 구하여 α%의 비율 로 큰 값과 작은 값 양쪽에서 절사하여 모평균 μ의 기댓 값을 구하는 방법이다. 여기서 α는 잘라낼 부분군의 백 분율(절사율)이며,⌈x⌉은 천정함수를 나타내는 것으로 x보다 크거나 같은 정수들 중 가장 작은 값을 의미한다. k는 부분군의 총수이며 X_(υ)는 υ번째 군에서의 X 를 의 미한다.

2.3Rocke의 산포 추정치

Rocke[8]은 자신의 논문에서 산포의 강건한 추정치로 다음 식 (10), 식 (11)과 같이 두 가지 강건한 추정치에 관한 이론을 주장하였다.

{\bar{S}}_{α} = \frac{1}{k - ⌈ k α ⌉} [\sum_{v = 1}^{k - ⌈ k α ⌉} {\bar{S}}_{(v)}]

(10)

이 추정치는 각 군의 산포를 구하여 α%의 비율로 큰 값에서 절사하여 모 표준편차 σ의 기댓값을 구하는 방 법이다. 여기서 α는 절사율이며⌈x⌉는 천정함수이다. k 는 부분군의 총수, S_(υ)는 υ번째 군에서 s를 의미한다.

\begin{matrix} {\bar{S}}_{α} = \frac{1}{k} \sum_{i = 1}^{k} {S^{'}}_{i} \\ (단, {S^{'}}_{i} = {(\frac{1}{n - 2 ⌈ n α ⌉ - 1} \sum_{v = ⌈ n α ⌉ + 1}^{n - ⌈ n α ⌉} {(X_{i (v)} - {\bar{X}}^{'}_{i})}^{2})}^{1 / 2}) \end{matrix}

(11)

이 추정치는 각각의 부분군에서 표본들을 α% 비율로 큰 값과 작은 값 양쪽에서 절사를 수행한 후 구한 표준편 차 값들의 평균을 구하여 모 표준편차 σ를 추정하는 방 법이다. 여기서 α는 절사율이며,⌈x⌉는 천정함수이다. n 은 각 부분군의 측정치 수, X_i(υ)는 i군에서의 υ번째 값, X′_i 는 i 군에서의 평균 추정치를 의미한다.

3로버스트 CV 관리도의 설계

3.1Trim-CV 관리도

본 논문에서 제안하고자 하는 Trim-CV 관리도는 정규 분포를 가정한 제조 공정에서 3시그마 이론에 기초한 CV 관리도보다 관리도의 이상치 탐지 능력이 좋다고 생 각되는 관리도이다. 기존의 x 를 대체하는 평균 추정치인 x_α는 각각의 부분군에서 절사율 α%를 적용하여 큰 값과 작은 값 양쪽에서 절사를 시행한 후 구한 값을 사용한다. x_α는 다음 식 (12)와 같이 구할 수 있다.

{\bar{x}}_{α} = \frac{1}{n - 2 ⌈ n α ⌉} \times [\sum_{v = ⌈ n α ⌉ + 1}^{n - ⌈ n α ⌉} x_{i (v)}]

(12)

α는 절사율이며,⌈x⌉은 천정함수이다. n은 각 부분 군의 측정치 수, xi(υ)는 i군에서의 υ번째 값을 의미한다.

기존의 s값을 대체하는 s_α는 각각의 부분군에서 절사 율 α%를 적용하여 큰 값과 작은 값 양쪽에서 절사를 시 행한 후 구한 값을 사용한다. s_α는 다음 식 (13)과 같다.

\begin{matrix} s_{α} = {(\frac{1}{n - 2 ⌈ n α ⌉ - 1} \sum_{v = ⌈ n α ⌉ + 1}^{n - ⌈ n α ⌉} {(X_{i (v)} - {\bar{X}}^{'}_{i})}^{2})}^{1 / 2} \\ (단, {\bar{X}}^{'} = \frac{1}{n - 2 ⌈ n α ⌉} \sum_{v = ⌈ n α ⌉ + 1}^{n - ⌈ n α ⌉} X_{i (v)}) \end{matrix}

(13)

α는 절사율이며,⌈x⌉은 천정함수이다. n은 각 부분군 의 측정치 수, X_i(υ)는 i군에서의 υ번째 값을 의미한다.

본 논문에서 주장하는 Trim-CV 관리도의 관리상한선 (UCL : upper Control Limit), 중심선(CL : center line), 관 리하한선(LCL : lower control limit)은 3시그마 이론에 기 초하여 다음 식 (14)~식 (16)과 같이 구해질 수 있다. 변 동계수는 Wong and Wu[11]에서 양의 값을 가정하므로 음의 값은 고려하지 않는다.

U C L = E (T r i m W) + 3 \sqrt{V a r (T r i m W)}

(14)

C L = E (T r i m W)

(15)

L C L = E (T r i m W) - 3 \sqrt{V a r (T r i m W)}

(16)

E(Trim W), Var(Trim W) 는 Reh and Scheffler[6]이 주장 한 식 (3), 식 (4)에서 γ의 추정치인 $\hat{γ} = \sqrt{\frac{\sum_{i} (n_{i} - 1) W_{i}^{2}}{\sum_{i} (n_{i} - 1)}}$ 의 $W_{i} = \frac{s_{(i)}}{{\bar{x}}_{(i)}}$ 값 대신 $W_{i} = \frac{s_{α (i)}}{\bar{x_{α_{(i)}}}}$ 에 의해 구한 값을 취 한다. 본 논문에서는 변화된 $\frac{s_{α (i)}}{\bar{x_{α_{(i)}}}}$ 에 의해 구해진 W를 Trim W로 명명하였다. 여기서 i는 군의 번호를 의미한다.

3.2관리도의 성능

정규분포를 가정한 제조 공정에서 3시그마 이론에 기 초한 CV 관리도와 본 논문에서 제안한 Trim-CV 관리도 의 성능을 평가하기 위하여 관리한계선을 벗어날 확률인 p와 이상으로 판단되는 관측치가 처음으로 관리한계를 벗어날 때까지의 타점수인 런 길이(RL : Run Length)의 평균(ARL : Average Run Length)를 이용하였다. 두 가지 관리도의 성능 비교를 위하여 공정의 변화가 있는 3가지 의 경우에서 관리도의 이상치 탐지 능력을 비교하였다. 공정의 변화는 첫째, 공정에 산포의 변화가 부분군에 영 향을 미치는 경우, 둘째 공정에 평균의 변화가 부분군에 영향을 미치는 경우, 마지막으로 공정에 평균과 산포의 변화가 동시에 부분군에 영향을 미치는 경우이다.

3.2.1시뮬레이션 설계

E_i 를 관리한계선 밖에 있는 사건, P (E_i)를 그 확률이 라고 정의하고, 첫 번째로 관리한계선을 벗어나는 CV_i가 나오기 전까지의 표본의 수를 RL 이라고 표현하였다. σ 가 알려져 있는 경우 p = P(E_i)의 확률이며, 평균런의 길 이(ARL)은 1/p의 확률로 정의된다. σ가 알려져 있지 않 은 경우는 $p = E (P (E | \hat{μ}, \hat{σ}))$ 와 $A R L = E (\frac{1}{P (E_{i} | \hat{μ}, \hat{σ})})$ 로 정 의한다[12]. 이는 충분한 반복을 통한 데이터 세트를 발생 시킴으로 구해질 수 있다. 본 논문에서는 x 값 대신 x_α , s값 대신 s_α를 사용하였다. α는 가장 대표적으로 사용되 는 절사율인 10%로 설정하여 시뮬레이션을 진행하였다.

3.2.2공정변화 설계

공정의 변화 설계는 정상적인 경우와 프로세스에서 발 생할 수 있는 비정상적인 경우(산포나 평균의 변화)를 고 려하였다.

① 관측치가 N(10, 1²) 80%, N(10, 1²×b) 20%의 비율로 b = 2.0, 4.0의 산포 변화가 홀수 부분군에 영향을 미치 는 좌우대칭의 확률분포를 따르는 경우의 모델이다.
② 관측치가 N(10, 1²) 80%, N(10+a, 1²) 20%의 비율로 a = 2.0, 4.0의 평균 변화가 홀수 부분군에 영향을 미치는 좌우대칭의 확률분포를 따르는 경우의 모델이다.
③ 관측치가 N(10, 1²) 80%, N(10+a, 1²×b) 20%의 비율로 a, b = 2.0, 4.0의 산포와 평균의 변화가 동시에 홀수 부분군에 영향을 미치는 좌우대칭의 확률분포를 따르 는 경우의 모델이다.

n = 5, k = 30을 기준으로 시뮬레이션을 실시하였고, 시뮬레이션 횟수 N은 각 case별 30회를 실시하였다.

4시뮬레이션

4.1수치 예

공정 변화 ①의 경우에 나타나는 CV 관리도와 Trim- CV 관리도의 p값과 ARL값의 비교표 및 그림은 <Table 1>과 <Figure 1(A)>에서 <Figure 1(D)>를 통해 확인할 수 있고, 공정 변화 ②의 경우에 나타나는 p값과 ARL값의 비교표 및 그림은 <Table 2>와 <Figure 2(A)>에서 <Figure 2(D)>를 통해 확인할 수 있다. 마지막으로 공정 변화 ③의 경우에 나타나는 p값과 ARL값의 비교표 및 그림은 <Table 3>과 <Figure 3(A)>에서 <Figure 3(D)>를 통해 확인할 수 있다.

4.2시뮬레이션 결과

정규분포를 가정한 공정에서 본 연구에서 제안한 Trim- CV 관리도와 3시그마 이론에 기초한 CV 관리도의 성 능 비교를 위해 p와 ARL값을 비교하여, <Table 1>에서 <Table 3>으로 보여주었고, 관리도의 형태를 <Figure 1> 에서 <Figure 3>으로 보여주었다. 두 가지 관리도의 객관 적인 비교를 위해 본 논문에서는 관측치를 동일하게 조 절한 상태에서 p값과 ARL값을 비교하였다.

관리도는 p값이 크고, ARL값이 작은 관리도가 공정 관리에 더욱 우수한 성능을 보인다고 할 수 있다. 앞서 제안한 공정변화 설계의 3가지 경우에서 첫째 산포의 변 화가 있을 경우 <Table 1>은 b = 2.0, 4.0의 모든 경우에 서, 둘째 평균의 변화가 있을 경우 <Table 2>는 a = 2.0, 4.0의 모든 경우에서, 셋째 산포와 평균의 변화가 모두 있을 경우 <Table 3>은 a, b = 2.0, 4.0의 두 가지 모든 경우에서 p값은 Trim-CV 관리도가 CV 관리도의 p값 보 다 큰 값, ARL값은 더 작은 값을 나타내고 있음을 확인 할 수 있다. 이는 <Figure 1>에서 <Figure 3>의 관리도 형태를 통해서도 Trim-CV 관리도가 CV 관리도에 비해 더 성능이 좋은 관리도임을 보여주었다.

이와 같이 정규분포를 가정한 공정의 변화가 있는 3가 지 모델 모든 경우에서 Trim-CV 관리도가 CV 관리도에 비해 공정 변화를 탐지하는 능력이 우수함을 보였다.

5결 론

통계적 공정관리에서 가장 대표적으로 사용하는 관리 기법은 관리도를 사용하여 공정을 관리하는 것이다. 일 반적으로 x-R 관리도와 x-s 관리도가 가장 널리 사용 되는 관리도이다. 최근의 제조 공정은 기계의 첨단화, 자 동화가 이루어지고 있으며 제품의 생산 주기가 점점 짧 아지고 있다. 이와 같은 제조 공정에서 기존의 x–R 관 리도와 x–s 관리도를 사용하여 공정을 관리하는 것은 작업적인 측면은 물론이고 비용적인 측면에서도 매우 비 효율적이다. 변동계수를 이용한 관리도로 이러한 공정을 효율적으로 관리할 수 있다. 변동계수는 표본의 표준편 차를 표본의 평균으로 나눈 값으로 변량의 산포를 평균 에 대비해 나타내는 상대적 개념의 통계량이다.

정규분포를 가정한 제조 공정에서는 평균을 중심으로 편차의 3배 거리 안에 확률변수가 존재해야 한다는 이론 에 근거하여 관리도를 작성할 수 있으며 CV 관리도 역 시 이 이론에 근거하여 관리도를 작성하는 것이 가능하다. 그러나 CV 관리도의 변동계수를 추정하기 위한 x , s 추 정치는 표본의 모든 데이터를 사용하여 관리도로 표현한 다는 장점이 있으나, 관리선이 이상 관측치에 민감하게 반응하여 설정되기 때문에 관리도가 해야 하는 본연의 기능인 이상원인 탐지능력에 문제가 생길 수 있다.

본 논문에서는 관리도의 성능을 개선시키기 위해 기 존의 변동계수를 추정하기 위한 x , s보다 이상 관측치에 강건하게 반응하여 관리선을 설정하는 추정치를 CV 관 리도에 적용하였다. 강건한 추정치를 구하기 위해 위치 모수를 이용하였다. 시뮬레이션을 통해 3시그마 이론에 근거한 CV 관리도와 수행도를 비교한 결과 본 논문에서 제안하는 Trim-CV 관리도의 성능이 더 나음을 확인하였 다. 특히, 공정의 변화가 커질수록 두 관리도의 성능 차 이가 확연하게 보임을 확인하였다. 본 논문에서 제안한 Trim-CV 관리도를 이용하여 다품종 소량생산을 하는 제 조 공정에서 공정 관리를 효율적으로 할 수 있을 것이라 고 기대한다. 추후 연구에서는 최적의 절사율을 찾는 연 구들이 진행되는 것이 바람직할 것이다.

Figure

Table

<Table 1>.

p, ARL Values for N(10, 12) and N(10, 12×b)

N = 30	b = 2.0	b = 4.0		b = 2.0	b = 4.0
CV	p value	Trim-CV	p value
0.082	0.122	0.086	0.155
ARL value	ARL value
12.18	8.22	11.69	6.45

<Table 2>.

p, ARL Values for N(10, 12) and N(10+a, 12)

N = 30	a = 2.0	a = 4.0		a = 2.0	a = 4.0
CV	p value	Trim-CV	p value
0.041	0.046	0.085	0.087
ARL value	ARL value
24.53	21.95	11.80	11.48

<Table 3>.

p, ARL Values for N(10, 12) and N(10+a, 12×b)

N = 30	a = 2.0, b = 2.0	a = 4.0, b = 4.0		a = 2.0, b = 2.0	a = 4.0, b = 4.0
CV	p value	Trim-CV	p value
0.058	0.076	0.131	0.154
ARL value	ARL value
17.11	13.23	7.63	6.48

Reference

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