1.서 론

신문, 우유, 잡지 등 단일 기간(single-period) 상품들은 일반적으로 판매 기간 동안 가격의 변동이 있는데, 보통 판매 시작 시점에서는 최고 가격이며 판매 종료 시점에 는 최저 가격을 형성하게 된다. 판매 기간은 상품에 따라 다르며 보통 유효 기간이 있기 때문에 유효 기간이 끝나 면 판매할 수 없거나 하찮은 가격에 팔 수 밖에 없다. 따 라서 사업 관리자 입장에서는 총 이익을 최대화하기 위 하여 판매 기간의 시작 시점에서 최적의 주문량을 결정 하는 것이 매우 중요한 문제가 된다.

고전적인 단일 기간 모델은 신문 배달 소년 문제(newsboy problem)로 알려져 있으며 총 비용을 최소화하거나 총 이익을 최대화하는 최적 주문량을 결정하는 해법이 제 시되었다[5, 15]. 이 모델은 판매 기간이 끝나는 시점에 만 약 재고가 남아있으면 상품의 가격은 매우 하찮게 되며, 이와 반대 경우에는 기회 비용과 이익 창출의 기회를 잃게 된다는 가정에 기반하고 있다. 따라서 수요의 불확실성으 로 인하여 일반적으로 기대치를 사용하여 최소 비용 혹은 최대 이익 문제를 푼다[8].

최근 신문 배달 소년 문제를 공급사슬관리 측면에서 단일 기간 재고 문제로 간주하고 이에 대한 연구가 진행 되고 있다. 예를 들어 보면, 특정한 생산 시스템에서 무 작위 산출 문제[7], 의사 결정자의 행위가 주문량 결정에 따른 위험에 미치는 영향[17, 18], 주문량을 증가시키기 위하여 소매자와 재고 위험을 공유하기 위하여 재조자의 재구입(buyback) 정책[1], 그리고 재정적인 제약이 공급 사슬관리(SCM)에 미치는 영향[10] 등이 있다. 이러한 연 구들은 단일 품목에 관한 연구들인데, 일반적으로 신문 배달 소년 유형의 문제는 여러 종류의 제품들 그리고 여 러 유형의 제약 조건을 고려할 수 있다. Silver 등[15]은 복수 제품(multi-item), 단일 제약 조건(single-constraint) 신문 배달 소년 문제에서 기대 이익을 최대화하는 해법 을 제안하였다. 또한 Shao와 Ji[13]는 단일 제약 조건에 서 퍼지 형태의 수요(fuzzy-demand)에 대한 연구를 수행 하였다.

또한 근래 전통적인 신문 배달 소년 문제를 확장한 연 구들이 주목을 받고 있다. 관련 연구의 예를 들면, 수요 의 불확실성에 따른 위험을 감소시키기 위하여 제조사와 소매상 사이의 다른 전략을 다양한 의류 품목에 대하여 적용한 두 단계(two-stage) 신문 배달 소년 문제[16], 시 간이 지남에 따라 가치가 하락되는 품목들의 수요와 가 치하락의 이중적인 불확실성을 고려한 연구[6], 그리고 가격과 저장 수준의 불확실성이 존재하는 경우에 대하여 발송 계획 문제를 신문 배달 소년 문제 측면에서 고려한 연구[4] 등을 들 수 있다.

보다 현실적인 모델이 Chen과 Chen[2]에 의하여 제안 되었는데, 이들은 복수 제품, 단일 제약 조건 신문 배달 소년 문제에 예약 정책(reservation policy, or advance-purchase policy)을 포함시켰다. 예약 정책은 항공권[3] 및 서비스 산업[14] 등에 널리 적용될 수 있는 것으로 수요 에 대한 불확실성을 줄이기 때문에 이익을 증대할 수 있 다. 또한 소비자 입장에서는 예약을 통한 할인 등이 중요 한 인센티브로 작용할 수 있기 때문에 예약을 선택하는 경향을 띠게 된다. 할인율이 높을수록 소비자의 예약 의 욕은 일반적으로 높아짐으로 할인율은 판매량에 영향을 미치게 되고 또한 주문량에 영향을 준다. 그러나 높은 할 인율은 높은 판매에도 불구하고 낮은 이윤 혹은 손실을 야기할 수 있다. 따라서 최적의 주문량과 최적의 할인율 을 결정하는 것이 최고의 이윤을 위해 필요하다.

이러한 관점에서 Chen과 Chen은 복수 품목에 대하여 예약에 따른 할인율과 예산에 대한 제약 조건이 있는 경 우의 신문 배달 소년 모형을 제안하고, 최적 주문량과 최 적 할인율을 계산하기 위하여 소위 MCR 알고리즘을 제 안하였다. 특히 MCR 알고리즘은 최적 주문량 계산에 필 요한 누적확률분포의 역함수를 근사 방법을 사용하여 구 하고, 예산에 따른 제약 조건을 만족하는 해를 구하기 위 하여 라그랑주 승수(Lagrange multiplier)를 휴리스틱 방 법을 사용하여 구하는 해법을 제시하였다.

본 논문에서는 Chen과 Chen이 제안한 모형에 대하여 보다 효율적이고 정확한 해를 구하기 위하여 정규화(normalization) 와 수치 적분을 사용하여 누적확률분포의 역 함수를 정확하게 구하는 방법과 제약 조건을 만족하는 해가 유일하게 존재함을 증명하여 라그랑주 승수를 효율 적으로 구하는 방법v[11]을 제안하고자 한다. 따라서 제안 하는 방법은 근사 방법이나 휴리스틱 방법을 적용하지 않기 때문에 최적 주문량과 할인율을 보다 정확하게 계 산할 수 있을 뿐만 아니라 기존의 방법보다 간단하기 때 문에 보다 빠른 시간에 최적 주문량과 할인율을 계산할 수 있다는 장점이 있다.

본 논문은 다음과 같이 구성되어있다. 제 2장에서는 고 려하는 모형을 위한 기호를 설명하고 수리 모형과 그 특 징을 언급하였다. 제 3장에서는 Chen과 Chen이 제시한 기존의 방법론을 살펴보고 본 논문에서 제안하는 방법론 을 소개하였다. 제 4장에서는 예제를 통해 제안한 방법론 의 효율성을 살펴보고, 예산 제약의 변동에 따른 기대 이 익의 변화를 살펴보았다. 마지막으로 제 5장에서는 본 논 문의 결론을 제시하였다.

2.모형 정의

각 제품(i = 1, 2,..., n)에 대하여 본 논문에서 고려하 는 모형을 위해 사용한 기호들은 다음과 같다.

c_i : 제품 단위당 가격

s_i : 제품 단위당 판매 가격

v_i : 제품 단위당 구제 가격(salvage cost)

p_i : 제품 단위당 재고 부족 가격(shortage cost)

X_i : 수요량으로 정규 분포를 따르는 확률 변수, 즉 X_i ~N (μ_Xi , σ²_Xi )

Q_i : 주문량으로 결정변수

a_i : 할인율(discount rate)로 결정변수

β_i : 의욕율(willingness rate)

w_i : 추가 수요율(extra demand rate)

B : 최대 허용 예산

할인율은 α_i∈[0, 1]를 만족하며, β_i는 의욕율로 α_i의 연속 함수이다. 의욕율은 수요에 대한 비율로 할인율 α_i 가 높을수록 예약하려는 “의욕”이 높아지는 경향을 고려 하여 할인율에 대한 함수로 표현한다. 따라서 β_i = g_i (a_i ) 로 표현하고, 다음과 같은 성질을 만족한다[2].

따라서 β_i∈[0, 1]이다. 추가 수요율 w_i역시 α_i에 대한 함수로 수요에 대한 비율이며 의욕율과 동일한 성질을 가지나, 직관적으로 볼 때 예약에 따른 주문량보다 적음 으로 공리적 요구 조건(axiomatic requirement) [9]을 적용 하여 w_i (α_i = 1) ≤ 1을 만족하도록 w_i (α_i ) = δg_i (α_i )로 정 하며, 여기서 0 ≤ δ ≤ 1이다[2]. 또한 의욕율과 추가수요 율 모두는 주문량에 영향을 준다.

신문 배달 소년 문제에서 예약 정책이 있는 경우, 제 품 i에 대한 총 이익 Z_i 는 보통 판매 이익 Z_i^u와 예약에 따른 판매 이익 Z_i^r의 합으로 이루어진다. 할인율은 의욕 율과 이에 따른 추가 수요율을 결정하므로 할인율은 주 문량과 총 이익에 영향을 미친다. 따라서 주문량과 할인 율이 이 모형에서 기대 총 이익을 최대화하는 결정 변수 가 된다. 보통 판매로 인한 이익은 보통 수요량과 주문량 에 의존하는데, 보통 수요량은 (1 - g_i (α_i )) X_i 로 주어짐으 로 보통 판매로 인한 이익은

이 된다. 또한 예약 정책에 의한 추가 수요량은 w_i (α_i ) X_i 이므로 예약에 따른 수요량은 {g_i (α_i ) + w_i (α_i )} X_i 로 주 어지고, 예약에 따르는 이익은

가 된다. 따라서 제품 i에 대한 총 이익의 기대값은 E( Z_i ) = E ( Z_i^r) +E ( Z_i^u)로 주어진다. 수요량이 정규분포를 따르는 확률 변수인 경우, 각 제품에 대한 이익의 기대값은 아래 와 같이 주어진다.

여기서 f_Xi (x_i )는 평균이 μ_Xi 이고 분산이 σ_Xi 인 정규 분 포를 따르는 확률밀도함수이다.

따라서 본 연구에서 고려하는 문제의 수학 모형(F1)은 다음과 같다.

subject to

식 (6)은 목적 함수로 모든 제품의 기대 이익을 최대 화하는 것이며, 식 (7)은 주문 비용의 합이 예산 B 이내 로 하는 제약 조건이다.

3.기존의 해법과 제안하는 해법

수학 모형 F1을 풀기 위해 라그랑주 함수(Lagrange function) 를 살펴보면 다음과 같다.

라그랑주 함수 L( Q_i, α_i )를 Q_i 와 α_i에 대해 편미분하고 0으로 두면 라그랑주 함수를 최적화하는 문제의 제1계 필요조건(first order necessary condition)을 구할 수 있다.

위의 두 방정식의 해인 최적 주문량과 할인율은 참고 문헌 [2]에 의하여 다음과 같이 주어진다.

여기서

로 정의되며, f_N (z_i )는 표준정규분포를 따르는 확률밀도 함수이고 F_N (z_i )는 f_N (z_i )의 누적확률함수이다. 특히 최 적 할인율 α_i는 식 (12)의 음함수(implicit function)의 해 로 주어지기 때문에 방정식 (12)의 해가 α_i가 된다.

3.1.기존 해법

주어진 λ에 대하여 식 (11)과 식 (12)를 사용하면 최적 주문량 Q_i과 할인율 α_i을 계산할 수 있다. 이때 만약 할 인율이 음수가 되면 α_i = 0으로 둔다. Q_i와 α_i가 결정되 면 주문 비용 Σ_iⁿ = 1 c_i ( Q_i + [w_i (α_i ) + g_i (α_i )]μ_Xi )을 계산하 여 최대 허용 예산에 적합한지 여부를 알 수 있다. 따라 서 예산에 따르는 제약 조건을 만족하는 최적의 λ를 구 하는 것이 관건이 된다. Chen과 Chen은 초기에 λ = 0(즉, 제약 조건이 없는 경우)으로 두고, 식 (11)과 식 (12)에 대 한 해를 구한 다음 제약 조건인 식 (7)의 만족 여부를 판 별하였다. 만약 제약 조건을 만족하지 않으면, 제약 조건 을 만족할 때까지 λ값을 일정량 증가시켜서 주문 비용을 다시 계산하여 허용 예산에 대한 적합 여부를 반복적으 로 판단하는 휴리스틱 (heuristic) 방법을 사용하였다.

또한 식 (11)과 식 (13)을 사용하여 주문량을 계산하기 위해 누적확률함수의 역함수 F_{X i} ^{- 1}(ξ_i )를 계산하는데, ξ_i값에 따라서 다른 방법을 사용하였다. 즉, P( X_i ≤ μ_Xi - 3σ _Xi ) ≡ 0.00135(ε_i = 0.00135)을 이용하여, ξ_i > ε_i인 경우에는 F_{X i} ^{- 1} (ξ_i )를 직접 계산하고, 0 < ξ_i < ε_i인 경우에는 F_{X i} ^{- 1}(ξ_i )를 계산하지 않고 주문량을 근사적으로 max(0, μ_Xi - 3σ _Xi )로 정하 였다. 이것은 ξ_i가 매우 작은 값인 경우에는 F_{X i} ^{- 1}(ξ_i ) 의 계산이 느리게 수렴되기 때문에 수치적으로 정확한 계 산이 어렵기 때문이다. 즉 F ( H_i ) = ξ_i를 사용하여 매우 작 은 ξ_i값에 대하여 H_i 를 직접 구하는 경우에는 H_i ≪ 1에 대한 적분을 수행해야 하기 때문이다. Chen과 Chen이 제 시한 해법은 다음과 같다.

Step 1 : λ = 0로 둔다.

Step 2 : 주어진 λ에 대하여 ξ_i와 할인율 α_i를 식 (13)에 의해 계산한다.

Step 3 : 예약에 따른 예약 주문 비용 G_r = Σ_i,αiⁿ > 0 c_i {g_i (α_i ) + w_i (α_i )}μ_Xi 을 계산한다.

Step 4 : ξ_i > ε_i인 제품에 대하여 Q_i를 구하여 보통 판매 주문 비용 G_u = Σ_{i,ξi > εi}ⁿc_iQ_i 를 계산하고, 0 < ξ_i < ε_i인 제품에 대하여 G_t = Σ_{i, 0, < ξi < εi}ⁿc_i max(0, μ_Xi - 3σ _Xi )를 계산한다.

Step 5 : G = G_u +G_r을 계산한다. 만약 G > B 이면 λ ← λ + (G -B )/B 로 두고 Step 2로 돌아간다. 만약 G < B이고 B − G B < 0.001이면 종료하고, 그렇지 않 으면 Step 6으로 간다.

Step 6 : G ′ = G + G_t를 계산한다. 만약 G ′ < B 이면 λ ← λ - (B -G ′)/B 로 두고 Step 2로 돌아간다.

3.2.제안하는 해법

본 논문에서 제안하는 해법은 F_{X i} ^{- 1}(ξ_i )와 라그랑주 승수 λ를 보다 효율적으로 구하는 방법을 포함하고 있다. 제안 하는 해법에서는 정규화를 사용하여 ξ_i 값의 크기에 무관 하게 F_{X i} ^{- 1}(ξ_i )를 계산한다. 즉, ξ_i 값이 작은 경우에도 Chen 과 Chen이 제안한 근사법을 사용하지 않고 F_{X i} ^{- 1}(ξ_i )를 직접 계산한다. ξ_i가 매우 작은 값인 경우에도 F_{X i} ^{- 1} (ξ_i )를 추가 적으로 계산해야 하므로 계산량이 늘어나지만, 총 계산 시간에 비하여 현실적으로 거의 영향을 미치지 않는 정도 (약 5%) 정도이다. 제안하는 방법을 구체적으로 살펴보면 다음과 같다.

식 (13)의 F_{X i} ^{- 1}(ξ_i ) = H_i의 양변에 역함수를 취하면 F_{X i} ( H_i ) = ξ_i가 된다. 또한

이므로 정규화 η i ≡ x i − μ X i σ X i , Z i ≡ H i − μ X i σ X i 를 적용하면,위의 식 (14)는

가 된다. 따라서 F_N (z_i ) = ξ_i를 만족하는 z_i를 식 (15)를 사용하여 구한 다음, 정규화 관계인 H_i = μ_Xi + z_iσ _Xi 를 사 용하면 ξ_i값의 크기에 무관하게 ξ_i가 작은 경우에도 H_i 를 구할 수 있다.

<Figure 1>은 F_N ^{- 1}(ξ_i )을 10^-7 ≤ ξ_i ≤ 10^-2인 영역에 대 하여 Romberg 적분 방법[12]을 사용하여 구하여 그 결과 를 나타낸 것이다. Romberg 적분법은 계산 속도가 빠르 고 필요한 계산 정밀도를 보장하는 장점이 있다. <Figure 1>에서 볼 수 있듯이 ξ_i≲10^-3인 경우에도 누적확률함수 의 역함수는 연속적으로 매끄럽게 변화함을 알 수 있다. 이것은 Chen과 Chen의 경우에 ξ_i≲10^-3에 대하여 근사값 을 취한 것과 대조된다.

제안한 F_{X i} ^{- 1}(ξ_i ) 계산 방법의 효용성을 입증하기 위하여 Chen과 Chen[2]이 사용한 제품 2를 위한 매개변수 μ_Xi = 10,000과 σ _Xi = 2,400에 대하여 제안한 방법과 기존 방법을 적용하여 H_i값을 구하고 그 결과를 <Figure 2>에 나타내 었다. <Figure 2>에서 볼 수 있듯이 ξ_i값이 ε_i = 0.00135 (<Figure 2>의 화살표)보다 작은 경우, Chen과 Chen의 방 법은 H_i = max(0, μ_Xi - 3σX_i )에서 H_i = 2,800으로 고정되 는 반면, 제안한 방법은 ξ_i < ε_i인 경우에도 H_i 값은 지속 적으로 변화하며 ξ_i ≈ 1.6 × 10^-5에서 H_i = 0이 된다. 또한 μ_Xi < 3σX_i 인 경우(제품 1에 해당), Chen과 Chen의 방법은 모든 ξ_i < ε_i에 대하여 H_i = 0이나 제안하는 방법은 ξ_i에 의존하는 연속적인 H_i값을 가진다.

의 해가 최적의 λ가 된다.

위의 방정식 h(λ) = 0의 해는 아래의 조건 (a)~조건 (c)를 만족하면 유일하게 존재하므로 이분법(bisection method) 등을 사용하여 방정식의 해를 구할 수 있다. 이분 법을 사용하면 구하는 해는 최적 λ에 지수적으로 수렴 한다. 이와 달리 기존 방법은 후보 λ를 일정한 크기인 (B -G ′)/B 로 변화시키기 때문에 선형적으로 수렴한다. 따라서 지수적으로 수렴하는 이분법이 근사적 방법보다 정확한 해를 구할 수 있을 뿐만 아니라 빨리 수렴하기 때문에 계산량도 적다고 할 수 있다.

(a) h(λ)는 λ에 대하여 연속이다.

(b) h(λ)는 단조 증가 혹은 감소 함수이다.

(c) h(λ₁) > 0, h(λ₂) < 0인 λ₁, λ₂가 존재한다.

식 (11)과 식 (12)에 의하여 Q_i와 α_i는 λ의 함수이므로 ω_i (α_i ) + g_i (α_i ) 역시 λ의 함수가 되기 때문에 h(λ)는 λ에 대하여 대하여 연속이다. 따라서 조건 (a)는 만족된다. 조 건 (b)가 만족함을 보이기 위하여 dh λ d λ > 0 (즉, h(λ) > 0 (즉, h(λ)는 단조 증가 함수)임을 Appendix에서 증명하였다. dh λ d λ > 0 이므로 h(λ)는 단조 증가 함수이고, λ ≥ 0조건 하에서 h(λ) = 0인 해가 존재하기 위해서는 h(λ = 0) < 0이어야 한다. 이 조건은 매개변수 값을 제약하는 조건으로 사용될 수 있다. 위에서 언급한 방법을 사용하여 제안하는 해법은 다음과 같다.

Step 1 : h(λ₁) > 0, h(λ₂) < 0인 λ₁, λ₂를 식 (16)을 사용 하여 구한다.

Step 2 : λ new = λ 1 + λ 2 2 로 두고 h(λ_new )를 계산한다. 만약 h(λ_new ) > 0이면 λ₁ = λ_new로 두고, 그렇지 않으 면 λ₂ = λ_new로 둔다.

Step 3 : 만약 (h(λ₁ ), - h(λ₂ )) < ε이면 Step 4로, 아니면 Step 2로 돌아간다. 여기서 ε은 미리 정의된 임 의의 작은 값이다.

Step 4 : λ₁ 혹은 λ₂에 대하여 식 (11)~식 (13)를 사용하여 Q_i 와 α_i를 구하여 총 이익의 기대값인 E( Z_i ) = E ( Z_i^r) +E ( Z_i^u)을 계산한다.

4.예 제

제안한 방법의 유의성을 예제를 통해 입증하기 위하여 적절한 매개변수를 사용하여 추가 실험을 수행하였으며, <Table 1>은 추가 실험에서 사용한 매개변수이다. <Table 1>에서 주어진 매개변수를 사용하여 추가 실험한 결과를 <Table 2>에 나타내었다. 두 가지 방법을 사용하여 구한 결과를 <Table 2>를 통해 비교해 보면, 기존 방법을 적용 한 경우의 총 주문량(total order quantity)은 제안한 방법보다 크기 때문에 주문 비용(order cost)과 기대 이익(expected profit)도 기존 방법이 큰 결과를 얻는다. 그러나 기존 방법 으로 구한 해는 예산 제약(budget constraint)을 만족하지 않음으로 유의한 해가 아니다. 즉, 제안한 방법은 예산 제 약을 만족하는 해가 존재하는 반면, 같은 조건에서 기존 방법을 적용하면 예산 제약 조건을 만족하지 않게 됨을 알 수 있다. 이것은 기존의 근사 방법을 사용하면 필요 이 상의 주문을 해야 하는 경우가 발생하기 때문이다.

위에서 제안한 해법의 효용성을 살펴보기 위하여 Chen과 Chen[2]이 다루었던 예제를 제안한 해법에 적용 하고자 한다. Chen과 Chen은 4개의 제품이 있다고 가정 하였고, 각 제품에 대한 매개변수들은 <Table 3>에 주 어져 있다. 또한 각 제품에 대한 의욕율은 g₁ (α₁) = α₁, g₂ (α₂) = α 2 , g₃ (α₃) = α 3 , g₄ (α₄) = α₄², 그리고 추가 수요율 상수는 δ = 0.5로 정하였다. 또한 제안한 알고리 즘 Step 3에서 ε = 10^-7로 정하여 최적의 λ를 위한 유효 숫자를 충분하게 정하였다.

<Figure 3>은 <Table 3>의 매개변수 값을 사용하여 예 약 정책이 있는 경우와 없는 경우 각각에 대하여 h(λ)를 λ에 대해 나타낸 것이다. 제 3장에서 언급한 것과 같이 h(λ)는 연속이고 단조 증가 함수이며, 또한 h(λ = 0) < 0 임을 알 수 있다. <Figure 4>은 최적의 λ를 구하기 위하 여 반복에 따른 λ값의 변화를 살펴본 것이다. <Figure 4>을 통해 볼 수 있듯이 제안한 방법은 매우 빠르게 최 적의 λ값에 수렴시킴을 알 수 있다.

제안한 방법을 사용하여 구한 최적 주문량, 할인율, 기대 이익 등의 최적해를 예약 정책을 사용한 경우와 그렇지 않는 경우(괄호 안)에 대하여 <Table 4>에 나타내었다. <Table 4>에 서 알 수 있듯이 예산 제약으로 인해 두 경우 모두 주문 비용은 거의 동일하나, 예약 정책을 사용한 경우가 그러지 않는 경우 보다 더 높은 기대 이익을 얻을 수 있음을 알 수 있다.

또한 보통 주문량은 예약 정책이 없는 경우가 있는 경우 보다 제품 종류에 무관하게 더 많으나, 예약 정책에 따른 주문으로 인하여 총 주문량은 예약 정책이 있는 경우가 더 크며 기대 이익 역시 더 크다. 특히 제품 3에 대한 할인율 은 계산상으로는 α₂ = - 0.033089이나 음수이므로 α₂ = 0 가 되며, 할인율이 없는 제품 3의 경우에는 예약 정책을 사용하지 않는 경우에 더 많은 이익이 창출됨을 알 수 있다.

허용하는 예산에 따른 기대 이익의 변화를 예약 정책의 유무에 대하여 살펴보았으며, 그 결과를 <Figure 5>에 나타 내었다. <Figure 5>을 통해 볼 때 허용 예산이 클수록 예약 정책을 사용하는 경우가 그렇지 않는 경우에 비하여 총 기대 이익의 차이가 증가함을 알 수 있다. 이것은 허용 예 산이 클수록 예약 정책을 사용하는 것이 이익 창출 측면에 서는 유리함을 의미한다.

5.결 론

본 연구에서는 Chen과 Chen[2]이 제안한 예약 정책과 예산 제약이 있는 경우의 복수 제품 신문 배달 소년 모 형에 대한 효율적인 해법을 제안하였다. 제안한 해법은 정규화와 수치 적분을 사용하여 누적확률분포의 역함수 를 구하는 방법과 제약 조건을 만족하는 해가 유일하게 존재함을 증명하여 라그랑주 승수를 효율적으로 구하는 방법을 포함하고 있다. 따라서 제안한 방법은 기존의 근 사 방법이나 휴리스틱 방법을 적용하지 않기 때문에 고 려하는 모형의 최적 주문량과 할인율을 보다 정확하게 계산할 수 있을 뿐만 아니라 기존 방법에 비하여 간단하 기 때문에 빠른 시간에 모형의 해를 구할 수 있는 장점 이 있었다.

제안한 방법의 장점을 입증하기 위하여 적절한 매개 변수 값들을 사용하여 그 결과를 살펴보았다. 반복에 따 른 λ값의 변화를 통해 볼 때 제안하는 방법은 최적의 λ 값을 매우 빠르게 찾아감을 알 수 있다. 특히 제안한 방 법을 사용하여 구한 최적해는 예약 정책을 사용한 경우 가 그렇지 않는 경우 보다 높은 기대 이익을 얻을 수 있 음을 알 수 있었다. 또한 허용 예산에 따른 기대 이익의 변화를 예약 정책의 유무에 대하여 분석한 결과 허용 예 산이 클수록 예약 정책을 사용하는 것이 그렇지 않는 경 우에 비하여 기대 이익이 증가함을 알 수 있었다.