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ISSN : 2005-0461(Print)
ISSN : 2287-7975(Online)

Journal of Society of Korea Industrial and Systems Engineering Vol.49 No.3 pp.240-253
DOI : https://doi.org/10.11627/jksie.2026.49.3.240

A Theoretical and Empirical Analysis of the Necessity and Performance Effects of Criterion-Value Re-sorting in TOPSIS-Sort-C

Seunghyun Park^*†

, Kyeongtaek Kim^**

, Bongwan Choi^*

, Jihoon Kyung^*

^*Department of Industrial Engineering, Hannam University
^**Link Nine System, Inc.

^† Corresponding Author : wiclever@naver.com

Received 24/08/2026 Finally Revised 18/09/2026 Accepted 21/09/2026

Abstract

TOPSIS-Sort-C represents each class by a characteristic profile and assigns each alternative to the class with the nearest closeness coefficient. When profiles are built from data, some criterion values may run counter to the class order; the original application addressed such reversals by re-sorting those values across classes. This paper analyzes whether that correction is necessary and how it affects sorting performance. A complete ordering of individual criterion values is shown to be sufficient but not necessary for preserving the class order of profile closeness coefficients, which is the condition the assignment rule actually uses. Re-sorting is further characterized as a dispersion-increasing operation: it never lowers the top profile's closeness coefficient and never raises the bottom one's, and the weighted-sum class representatives after re-sorting majorize those before re-sorting, so the outermost decision boundaries move outward. Because the closeness coefficient is not a monotone transformation of the weighted sum, this boundary result is stated for weighted-sum aggregation. When criterion-level boundaries can be specified, TOPSIS-Sort-B gives the normatively appropriate assignment; since such boundaries are rarely available in practice, that assignment serves as the recovery target for profiles built from class labels alone. On the Index of Economic Freedom data, profiles without re-sorting recover this target more closely while preserving the profile-closeness order, and resampling experiments on the same data give the same result at every profile sample size. Among four other public datasets, re-sorting performs worse on one and ties on the other three, where the reversal is either confined to low-weight criteria or absent; it improves recovery on none of them. A synthetic controlled experiment with known true classes shows that re-sorting reduces accuracy when the reversal reflects the underlying structure, and helps only marginally when a mild reversal arises from noise in very small samples. Criterion values should therefore not be re-sorted mechanically when the profile closeness coefficients already preserve the class order; when they do not, profile construction and the source of the reversal should be reconsidered before any order-restoring correction.

Key Words : Multiple Criteria Sorting , TOPSIS-Sort-C , Characteristic Profile , Criterion-Value Re-sorting , Criterion-wise Dominance , Order Consistency

TOPSIS-Sort-C의 기준값 재정렬의 필요성과 성능 영향에 관한 이론적․실증적 분석

박승현^*†, 김경택^**, 최봉완^*, 경지훈^*

^*한남대학교 산업공학과
^**(주) 링크나인시스템

초록

키워드 :

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Funding:

1. 서 론

다기준 정렬(multiple criteria sorting)은 여러 기준으로 평가된 대안을 사전에 정의된 순서형 클래스에 배정하는 문제다. TOPSIS-Sort-B는 클래스 간 경계를 경계 프로파 일로, TOPSIS-Sort-C는 각 클래스의 전형적 사례를 특성 프로파일로 표현한다[2]. 특히 TOPSIS-Sort-C는 추상적 경계값보다 대표 사례를 제시하기 쉬운 실무 상황에 적합 하다.

TOPSIS-Sort-C는 특성 프로파일과 대안의 근접계수를 비교하여 가장 가까운 프로파일의 클래스에 배정한다. 그 러나 실제 분류자료의 클래스 평균으로 특성 프로파일을 구성하면, 상위 클래스의 대표값이 특정 기준에서 하위 클 래스보다 낮아지는 기준별 역전이 발생할 수 있다.

원 논문[2]은 경제자유지수[7]에서 조세부담과 정부지 출의 역전을 발견하고 해당 기준값을 클래스 간 재정렬하 여 기준별 지배를 강제하였다. 이 조치는 기준별 지배를 확보하지만 다른 클래스의 값을 옮겨와 프로파일의 대표 성을 훼손할 수 있다.

본 연구는 TOPSIS-Sort-C에서 기준값 재정렬의 필요성과 그것이 성능에 미치는 영향을 이론적․ 실증적으로 분 석한다. 제2장에서는 관련 연구와 TOPSIS-Sort-C 및 기준 값 재정렬의 배경을 정리하고, 제3장에서는 문제 정의와 연구문제를 제시한다. 제4장에서는 기준별 지배가 프로파 일 근접계수의 순서 정합성을 확보하기 위한 필요조건인 지 이론적으로 분석하며, 제5장에서는 실자료, 재표본 실 험, 합성 통제 실험 및 추가 공개자료를 이용하여 재정렬이 배정 성능에 미치는 영향을 평가한다. 마지막으로 제6장에서는 연구 결과를 종합하고 시사점과 한계 및 향후 연구 방향을 제시한다.

2. 관련 연구 및 배경

2.1 관련 연구

다기준 정렬은 효용 기반, 아웃랭킹 기반, 거리․근접도 기반 방법으로 나눌 수 있다. ELECTRE TRI-C[1]는 특성 참조행동으로 클래스를 표현하며, TOPSIS 계열에서는 Sabokbar et al.[17]의 TOPSIS-Sort 이후 de Lima Silva and de Almeida Filho[2]가 TOPSIS-Sort-B와 TOPSIS-Sort-C를 제시하였다. VIKOR 계열에서는 Demir et al.[4]이 VIKORSORT를 제안하여 공급업체 평가에 적용하였으며, 이후 Ocampo and Yamagishi[13]는 이를 관광지 분류에 적 용하였다. 이들 방법 가운데 TOPSIS-Sort-C는 경계 프로 파일 대신 각 클래스를 대표하는 특성 프로파일을 이용한 다는 점에서 본 연구의 문제와 직접 관련된다.

특성 프로파일 기반 방법은 경계값을 직접 지정하기 어 려운 상황에서 실용적이다. 다만 이미 분류된 자료로부터 프로파일을 구성하는 경우에는 클래스 순서와 개별 기준 값의 순서가 일치하지 않는 기준별 역전이 나타날 수 있다. 원논문[2]의 경제자유지수 응용에서는 이러한 역전을 해소하기 위해 해당 기준값을 클래스 간 재정렬하였다. 그 러나 이러한 재정렬의 이론적 필요성과 배정 성능에 미치는 영향은 충분히 검토되지 않았다. 국내에서도 TOPSIS는 배송채널[9], 공급업체[10], 국방 전력[12], 신제품 개발 [19], 설계 최적화[8] 등 다양한 분야에 활용되었으나, 대 부분 순위 결정이나 대안 선택에 초점을 두어 프로파일 구성과 역전 문제를 다루지는 않았다.

한편 관측 자료가 단조성을 위반할 때 이를 어떻게 처 리할 것인가는 여러 분야에서 다루어져 왔다. 통계학에서는 순서제약 하의 최우추정과 등위회귀가 표준적 도구로 정리되어 있으며[16], 다기준 분류에서는 비단조 객체를 제거하거나 라벨을 재부여하는 문제가 손실함수 최적화로 정식화되었다[15]. 본 연구의 문제와 가장 가까운 다기준 정렬에서는 지배원리와의 불일치를 명시적으로 다루는 접 근이 제시되었다[6]. 본 연구가 대상으로 하는 기준값 재 정렬은 이러한 보정 절차 가운데 가장 단순한 형태에 해당 하지만, 그 필요성과 성능 영향이 검토된 바는 드물다.

2.2 TOPSIS-Sort-C

$m$ 개 대안과 $n$ 개 기준, $q$ 개의 순서형 클래스 $C_{1}$ ≻⋯≻ $C_{q}$ 를 가정한다. 여기서 ≻는 앞의 클래스가 더 선호됨을 나타내는 선호순서다. 각 기준의 도메인을 외부 규범으로 고정하여 이상해(Ideal Solution)와 반이상해(Anti-Ideal Solution)를 대안 집합과 무관하게 정하고, 가중․정규화한 뒤 각 대안과 프로파일에 대해 근접계수

Cl = \frac{d^{-}}{d^{+} + d^{-}}

(1)

를 계산한다. 여기서 $d^{+}$ 와 $d^{-}$ 는 이상해와 반이상해까지의 유클리드 거리이며, $Cl$ 이 클수록 우수하다. 클래스마다 하 나씩 특성 프로파일 $P_{1},$ … $, P_{q}$ 를 정의하고, 대안 $a_{i}$ 를 근접 계수가 가장 가까운 프로파일의 클래스에 배정한다. 여기 서 $P_{k} = (p_{k, 1}$ $, p_{k, 2},$ ⋯ $,$ $p_{k, n})$ 로 나타내며, $p_{k, j}$ 는 클래스 $C_{k}$ 의 특성 프로파일에서 기준 $j$ 에 대한 값을 나타낸다.

a_{i} \in C_{k} \Leftrightarrow k = \underset{j}{arg min} | Cl (a_{i}) - Cl (P_{j}) |

(2)

TOPSIS-Sort-C는 프로파일에 대한 가정으로 기준별 지배를 둔다. 모든 기준 $j$ 에 대해 $p_{k, j} \geq p_{k + 1, j}$ 가 성립하고 적 어도 한 기준에서는 강부등호가 성립해야 한다는 것이다(편익형 기준). 이 가정 아래에서 단조성, 비가역성, 강안 정성 등의 성질이 증명된다.

프로파일 근접계수가 $Cl (P_{1})$ $>$ $Cl (P_{2})$ $>$ ⋯ $>$ $Cl (P_{q})$ 로 배열되면, 최근접 근접계수 규칙에서 인접 클래스의 배 정경계는 $b_{k}$ $= {Cl (P_{k}) + Cl (P_{k + 1})} / 2$ 로 표현된다. 따라 서 배정경계가 올바른 순서로 놓이기 위해 직접 필요한 것은 기준별 지배가 아니라 프로파일 근접계수의 스칼 라 순서이다. 동률 $Cl (P_{k})$ $= Cl (P_{k + 1})$ 이 발생하면 두 프 로파일을 구분하는 경계가 소멸하므로, 본 연구의 순서 정합성은 인접 프로파일 사이의 엄격한 부등호를 요구한다. 또한 대안의 근접계수가 두 인접 프로파일과 정확 히 등거리인 경우에는 선호순서가 앞선 클래스에 배정한다.

2.3 TOPSIS-Sort-C에서의 재정렬

원논문의 경제자유지수 응용에서 재정렬은 실제 등급 구성원의 기준별 평균을 특성 프로파일로 사용한 시나리 오 3에 적용되었다. 조세부담과 정부지출의 클래스 평균이 순서와 어긋나자 두 기준의 다섯 값을 내림차순으로 재배치하여 기준별 지배를 확보하였다(<Table 1>). 따라서 본 연구의 대상은 TOPSIS-Sort-C 자체가 아니라이 재정 렬 조치이다.

<Table 1>에서 원자료의 조세부담과 정부 지출은 일부 클래스에서 역전되지만, 재정렬 후에는 모든 클래스가 내 림차순을 만족한다. 이러한 역전은 경제자유지수 등급이 12개 기준의 단순평균으로 결정되어 기준 간 보상이 가능 하기 때문에 발생할 수 있다.

3. 문제 정의와 연구문제

3.1 문제 정의

TOPSIS-Sort-C는 각 클래스를 대표하는 특성 프로파일과 대안의 근접계수를 계산하고, 가장 가까운 프로파일의 클래스로 대안을 배정한다. 원논문[2]에서는 배정 전에 기 준별 재정렬을 수행하였다. TOPSIS-Sort-C의 전체 흐름과 재정렬 위치는 <Figure 1>과 같다.

다기준 정렬에서 경계 프로파일을 명시할 수 있는 상황이라면 TOPSIS-Sort-B 가 규범적으로 바람직한 배정을 제 공한다. 클래스 구분의 근거가 각 기준의 수준으로 직접 주어지기 때문이다. 그러나 실무에서 의사결정자가 이러 한 경계 프로파일을 제시하기는 어렵고, 그가 제공할 수 있는 정보는 이미 분류된 사례, 즉 최종 분류 결과인 경우가 많다. TOPSIS-Sort-C는 이러한 상황을 위한 방법이며, 여기서 제기되는 물음은 최종 분류 결과만으로 프로파일을 구성할 때 어떤 구성이 경계 프로파일을 명시했을 때의 배정을 더 잘 회복하는가에 있다. 따라서 본 연구에서 실 자료 분석의 회복 대상은 TOPSIS-Sort-B 배정이며, 이는 참 클래스가 없어 부득이 사용하는 대용 참조가 아니라 문제 설정에서 규정되는 비교 기준이다.

본 연구는 TOPSIS-Sort-C에서 기준별 지배가 프로파일 근접계수의 순서 정합성을 확보하기 위한 필요조건인지 분석하고, 기준별 지배를 강제하기 위한 기준값 재정렬이 배정 성능에 미치는 영향을 실증적으로 평가한다.

3.2 연구문제

위 두 문제에 대응하여 본 연구는 다음의 이론적 연구명제와 실증적 연구문제를 설정한다.

연구명제 P1(이론). 기준별 지배는 TOPSIS-Sort-C에서 프로파일 근접계수의 순서 정합성을 확보하기 위한 필요 조건이 아니다. 특성 프로파일이 기준별 지배를 이루지 않 더라도 근접계수의 엄격한 클래스 순서가 성립할 수 있으며, 이 경우 최근접 근접계수 규칙에 따른 배정구간은 클 래스 선호순서에 맞게 구성된다. P1은 4장의 명제 2로 증 명되며, 명제 2와 함께 정리 1은 배정 성질(단조성․비가 역성․ 강안정성)의 성립 조건을 기준별 지배에서 근접계 수의 순서 정합성으로 약화한다.

연구명제 P2(이론). 기준별 재정렬은 클래스 대표값의 산포를 키우는 편향 연산이다. 근접계수 수준에서는 최상 위 프로파일의 근접계수가 낮아지지 않고 최하위 프로파 일의 근접계수가 높아지지 않으며, 가중합 대표값 수준에 서는 재정렬 후의 벡터가 재정렬 전의 벡터를 다수화하여 최상위․최하위 클래스의 배정구간이 좁아지고 중간 클래 스 구간이 총폭 기준으로 넓어진다. P2는 4장의 명제 3․ 명제 4 및 따름정리 1로 증명되며, 배정경계에 관한 부분은 가중합 집계에 한정된다.

연구문제 RQ1(실증). 기준값 재정렬의 배정 성능 효과는 기준별 역전의 출처와 강도에 따라 어떻게 달라지는가? 실자료에서는 경계 프로파일을 명시하여 얻은 TOPSIS-Sort-B 배정의 회복도로, 합성 통제 실험에서는 참 클래스에 대한 오분류율로 평가하고, 구조적 역전과 샘 플링 잡음에 의한 역전을 구분하여 분석한다.

4. 기준값 재정렬의 필요성 분석

특성 프로파일과 그 성분의 표기는 2.2절의 정의를 따른다. $q$ 개의 순서형 클래스 $C_{1} ≻$ ⋯≻ $C_{q}$ 와 $n$ 개의 편익형 기 준을 고려하며, 모든 비용형 기준은 사전에 편익형으로 변 환하고 각 기준 $j$ 의 가중치 $w_{j}$ 는 양수로 그 합은 1이다. 가중치 벡터는 $w$ $= (w_{1},$ ⋯ $, w_{n})$ 으로 나타낸다.

정의 1 (기준별 지배). 인접한 두 프로파일에 대하여다 음이 성립하면 앞의 프로파일이 뒤의 프로파일을 기준별로 지배한다고한다.

P_{k} ≻ P_{k + 1} \Leftrightarrow p_{k, j} \geq p_{k + 1, j} (\forall j), \exists j : p_{k, j} > p_{k + 1, j}

(3)

정의 2 (프로파일 근접계수). 가중․정규화한 프로파 일에서 이상해까지의 거리와 반이상해까지의 거리를 각각 다음과 같이 두고, 프로파일 근접계수를 정의한다. 여기서 정규화는 벡터정규화가 아니라 도메인 선형정규화로, 각 기준값을 도메인 상한(척도 정의역의 최댓값)으로 나눈 뒤 기준별 가중치를 곱한다. 이상해는 각 기준의 가중․정규 화 상한, 반이상해는 0으로 두며, 이는 원 TOPSIS-Sort-C의 구간 정규화와 동일하다.

d^{+} (P_{k}) = {[\sum_{j = 1}^{n} {(v_{k, j} - {v_{j}}^{+})}^{2}]}^{\frac{1}{2}}

(4)

d^{-} (P_{k}) = {[\sum_{j = 1}^{n} {(v_{k, j} - {v_{j}}^{-})}^{2}]}^{\frac{1}{2}}

(5)

Cl (P_{k}) = \frac{d^{-} (P_{k})}{d^{+} (P_{k}) + d^{-} (P_{k})}, 0 \leq Cl (P_{k}) \leq 1

(6)

정의 3 (근접계수의 순서 정합성). 특성 프로파일의 근 접계수가 클래스 선호순서와 동일하게 배열되면 순서 정 합성이 성립한다고한다.

Cl (P_{1}) > Cl (P_{2}) \dots> Cl (P_{q})

(7)

정의 4 (배정 성질). 단조성(monotonicity)은 더 우수한 대안이 더 낮은 클래스에 배정되지 않는 성질, 비가역성(irreversibility)은 대안의 추가․제거에도 기존 배정이 유 지되는 성질, 강안정성(strong stability)은 인접 프로파일 사이의 대안이 두 인접 클래스 중 하나에 배정되는 성질을 뜻한다. 세 성질의 정의는 원논문[2]을 따른다.

명제 1 (기준별 지배의 충분성). 특성 프로파일이 기준 별 지배를 만족하면 근접계수의 순서 정합성이 성립한다. 즉 $P_{k}$ ≻ $P_{k + 1}$ 이면 $Cl (P_{k})$ $>$ $Cl (P_{k + 1})$ 이다.

증명. 편익기준에서 기준값이 커지면 가중․정규화값이 커지므로 $d^{+}$ 는 작아지고 $d^{-}$ 는 커진다. 따라서 $d^{+}$ 의 감 소와 $d^{-}$ 의 증가는 식(6)에 의하여 $Cl$ 의 증가를 가져오며, 기준별 지배가 성립하면 근접계수의 대소가 따라온 다. 여기서 $d^{+}$ 의 감소는 이상해가 도메인 상한에 고정되 어 모든 프로파일 성분이 이상해 성분 이하 $(v_{k, j} \leq v_{j}^{+}$ $)$ 임을 전제로 하며, 이는 정의 2의 도메인 선형정규화에서 항상 성립한다.

명제 2 (기준별 지배는 필요조건이 아니다). 기준별 지 배는 프로파일 근접계수의 순서 정합성의 필요조건이 아 니다. 즉, 기준별 지배를 위반하면서도 순서 정합성이 성 립하는 특성 프로파일의 구성이 존재한다.

증명. 존재 명제이므로 예 하나로 충분하다. 두 편익기 준, 균등가중 $w$ $= (0.5,$ $0.5),$ 도메인 [0, 100] (이상해 100, 반이상해 0)에서 다음 두 프로파일을 취한다. <Table 2>에 서 기준 $g_{2}$ 의 상위 프로파일의 값(50)이 하위 프로파일의 값(60)보다 작아 기준별 지배가 위반된다. 그럼에도 $Cl (P_{1}) = 0.6688$ > 0.6000= $Cl (P_{2})$ 로 근접계수의 순서는 성립하므로 명제가 증명된다. 이는 한 기준에서 기준별 지 배가 위반되더라도 다른 기준에서의 우위가 이를 상쇄하 여 전체 프로파일 근접계수의 클래스 순서는 유지될 수 있음을 보여준다.

정리 1 (약화된 가정 아래의 배정 성질). 외부 도메인에 의해 이상해와 반이상해가 고정되고 특성 프로파일의 근접계수가 $Cl (P_{1}) > Cl (P_{2}) >$ ⋯ $> Cl (P_{q})$ 의 순서 정합성을만 족하면, TOPSIS-Sort-C의 단조성, 비가역성 및 강안정성이 프로파일의 기준별 지배 없이도 성립한다.

증명. (1) 단조성: 대안 $a$ 가 $b$ 를 기준별로 지배하면 편익 기준의 단조성에 의해 $d^{+} (a) \leq d^{+} (b),$ $d^{-} (a) \geq d^{-} (b)$ 이므로 $Cl (a) \geq Cl (b)$ 이다. 한편 인접 프로파일의 결정경계를 $b_{k} = {Cl (P_{k}) + Cl (P_{k + 1})} / 2$ 로 두면 $Cl (P_{1})$ $>$ ⋯ $>$ $Cl (P_{q})$ 의 순서 정합성에 따라 $b_{1}$ $>$ ⋯ $>$ $b_{q - 1}$ 이 성립하여, 배정구간 이 클래스 선호순서대로 배열된다. 따라서 $Cl (a) \geq Cl (b)$ 인 $a$ 는 $b$ 보다 낮은 클래스에 배정될 수 없으므로 단조성이 유지된다.

(2) 비가역성: 이상해와 반이상해가 외부 도메인으로고 정되어 있으므로 대안 집합에 다른 대안을 추가하거나 제 거해도 기존 대안과 프로파일의 $d^{+},$ $d^{-}$ 및 $Cl$ 값은 변하지 않으며, 따라서 기존 배정도 변하지 않는다. 이 성질은고 정 도메인이라는 전제에서 따라오며 순서 정합성을 추가로 요구하지 않는다. 다만 프로파일을 클래스 구성원 평균과 같이 대안 집합으로부터 추정하는 경우에는 대안의 추 가․제거가 프로파일 자체를 바꾸므로, 이 성질은 프로파 일이 고정된 조건에서만 성립한다. 5.2.1절의 재표본 실험은 이 조건이 완화된 상황을 다룬다.

(3) 강안정성: 순서 정합성에 의해 프로파일 근접계수가 하나의 스칼라 축 위에 클래스 선호순서대로 배열되므로, $Cl (a)$ 가 인접한 두 프로파일의 근접계수 사이에 있으면 나머지 프로파일은 모두이 둘보다 멀리 있다. 따라서 최 근접 프로파일은 $P_{k}$ 또는 $P_{k + 1}$ 중 하나이며, 두 프로파일 사이의 배정경계는 $b_{k}$ $= {Cl (P_{k}) + Cl (P_{k + 1})} / 2$ 가 된다. 인접하지 않은 클래스로의 배정은 발생하지 않는다.

정리 1의 증명에서 프로파일의 기준별 지배는 사용되지 않는다. 명제 1에서 기준별 지배는 근접계수 순서를 보장하는 충분조건으로 쓰였으나, 여기서는 순서 정합성이 직 접 가정되므로 그 경로가 필요하지 않기 때문이다. 이때 대안 사이의 기준별 지배와 프로파일 사이의 기준별 지배는 구분해야 한다. 단조성에서 대안 $a$ 와 $b$ 의 지배관계는 $Cl (a) \geq Cl (b)$ 를 얻기 위해 사용되지만, 프로파일에 요구되는 것은 엄격한 근접계수 순서뿐이다. 다만 기준별 지배가 위반되면 근접계수 순서가 자동으로 보장되지는 않으므로 순서 정합성은 별도로 점검해야 한다.

순서 정합성이 유지되는 한 재정렬은 불필요하다. 이어 서 재정렬이 실제로 수행될 때 프로파일에 어떤 변형이 가해지는지를 분석한다. 재정렬은 자료에 따라 임의의 방 향으로 작용하는 것이 아니라, 클래스 대표값과 배정경계를 일정한 방향으로 이동시키는 성질을 갖는다.

정의 5 (기준별 재정렬 연산). 특성 프로파일 행렬 $P = (p_{k, j})$ 의 각 열을 내림차순으로 재배열하는 연산을 $P$ ⟼ $P^{RS}$ 로 쓴다. 즉 $p_{k, j}^{RS}$ 는 $j$ 번째 열 $(p_{1, j}, p_{2, j}, \dots, p_{q, j})$ 의 $k$ 번째로 큰 값이며, 각 열은 원소의 다중집합을 보존한 채 순서만 바뀐다. 이는 원논문[2]이 두 기준의 다섯 값에 적용한 조치를 임의의 기준 수와 클래스 수로 일반화한 것이다.

명제 3 (양 끝 프로파일 근접계수의 바깥쪽 단조성). 기준별 재정렬은 최상위 프로파일의 근접계수를 낮추지 않고 최하위 프로파일의 근접계수를 높이지 않는다.

Cl ({P_{1}}^{RS}) \geq Cl (P_{1}), Cl ({P_{q}}^{RS}) \leq Cl (P_{q})

(8)

증명. 정의 5에 의해 모든 기준 $j$ 에 대하여 $p_{1, j}^{RS} = {max}_{k} p_{k, j} \geq p_{1, j}$ 이고 $p_{q, j}^{RS} = {min}_{k} p_{k, j} \leq p_{q, j}$ 이다. 명제 1의 증명에서 보인 바와 같이 이상해가 도메인 상한에 고정된 편익기준에서 $Cl$ 은 각 성분에 대한 비감소 함수이므로 식(8)이 성립한다. 다만 각 열의 최댓값이 이미 첫 행에, 최솟값이 이미 마지막 행에 있으면 $P_{1}$ 과 $P_{q}$ 의 성분이 바뀌지 않아 등호가 성립하며, 역전이 중간 클래스 쌍에만 존재하는 경우가 여기에 해당한다.

명제 4 (대표값 벡터의 다수화). 클래스 $k$ 의 가중합 대표값을 $s_{k} = \sum_{j} w_{j} p_{k, j}$ , 재정렬 후의 값을 $s_{k}^{RS}$ 로 둔다. 그러면 $s^{RS}$ 는 클래스 순서에 대해 내림차순이며, $s$ 의 성분을 크기순으로 내림차순 정렬했을 때의 $k$ 번째 값을 $s_{[k]}$ 라 할 때 다음이 성립한다.

\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{m} s_{k}^{RS} \geq \sum_{k = 1}^{m} s_{[k]} (m = 1, \dots, q - 1) \\ \sum_{k = 1}^{q} s_{k}^{RS} = \sum_{k = 1}^{q} s_{k} \end{array}

(9)

즉 $s^{RS}$ 는 $s$ 를 다수화(majorize)한다.

증명. $s_{k}^{RS}$ 는 각 열이 내림차순으로 정렬되었으므로 $k$ 에 대해 비증가이다. 아래 식에서 합의 순서를 바꾸면 $\sum_{k = 1}^{m} s_{k}^{RS} = \sum_{k = 1}^{m} \sum_{j} w_{j} p_{k, j}^{RS} = \sum_{j} w_{j} \sum_{k = 1}^{m} p_{k, j}^{RS}$ 이고, 정의 5에 의해 $\sum_{k = 1}^{m} p_{k, j}^{RS}$ 는 열 $j$ 의 상위 $m$ 개 값의 합이다. 따라서 임의의 부분집합 $S$ ⊂{1,⋯,q}, $| S | = m$ 에 대하여 $\sum_{k = 1}^{m} p_{k, j}^{RS} \geq \sum_{k \in S} p_{k, j}$ 이므로, $\sum_{k = 1}^{m} s_{k}^{RS} \geq \sum_{k \in S} s_{k}$ 이며, $S$ 를 $s$ 의 상위 $m$ 개 성분의 첨자집합으로 택하면 식(9)의 부등식을 얻는다. 재정렬은 각 열의 원소를 보존하므로 총합은 불변이며 등식이 성립한다. 또한 $\sum_{k = 1}^{m} s_{[k]} \geq \sum_{k = 1}^{m} s_{k}$ 이므로, 식(9)로부터 클래스 순서 부분합에 대한 부등식 $\sum_{k = 1}^{m} s_{k}^{RS} \geq \sum_{k = 1}^{m} s_{k}$ $(m = 1, \dots, q - 1)$ 도 함께 따라온다.

여기서 $s_{[k]}$ 와 $s_{k}^{RS}$ 는 구분해야 한다. $s_{[k]}$ 는 $s$ 의 성분을 재배열한 것에 불과하지만, $s_{k}^{RS}$ 는 기준값 수준의 재배열로부터 새로 계산된 값이므로 $s$ 에 없던 성분을 가질 수 있다. 순서 정합성이 성립하면 $s_{[k]} = s_{k}$ 이므로 식(9)의 부등식과 증명 말미의 약한 형태가 일치한다. 전자는 아래의 산포 논증에, 후자는 따름정리 1의 배정경계 논증에 사용된다.

다수화는 Schur-볼록(Schur-convex) 함수에 대한 부등식과 동치이므로, 분산과 범위를 비롯한 임의의 Schur-볼록 산포 측도는 재정렬 후에 감소하지 않는다[11]. 즉 기준별 재정렬은 단조성을 회복하는 중립적 조치가 아니라, 클래 스 대표값을 스칼라 축 위에서 바깥쪽으로 벌리는 확산 연산이다. 이때 재정렬의 효과는 세 수준으로 구분된다. 기준값 수준에서는 최상위 프로파일의 각 성분이 커지거나 같고 최하위 프로파일의 각 성분이 작아지거나 같으며, 근접계수 수준에서는 양 끝 프로파일의 근접계수가 그 방 향으로 이동하거나 유지되고(명제 3), 가중합 대표값 수준에서는 다수화가 성립한다(명제 4). 명제 4는 가중합 공간에서의 구조적 성질이므로, 이하의 배정경계 결과 역시가 중합 대표축에 관한 것이며 근접계수에 대한 일반적 다수 화 관계를 의미하지 않는다.

따름정리 1 (배정경계의 바깥쪽 단조성). 가중합 대표값을 사용하고 인접 클래스의 배정경계를 $b_{k} = (s_{k} + s_{k + 1}) / 2$ 로 둘 때, $q \geq 3$ 이면 최상위 경계는 내려가지 않고 최하위 경계는 올라가지 않는다.

{b_{1}}^{RS} \geq b_{1}, {b_{q - 1}}^{RS} \leq b_{q - 1}

(10)

따라서 최상위․최하위 클래스의 배정구간은 각각 좁 아지며, 두 경계의 간격은 넓어진다.

{b_{1}}^{RS} - {b_{q - 1}}^{RS} \geq b_{1} - b_{q - 1}

(11)

다만 이는 중간 구간의 총폭에 관한 것이며, 개별 중간 클래스의 폭은 늘어날 수도 줄어들 수도 있다.

증명. 명제 4를 $m = 2$ 에 적용하면 $2 b_{1}^{RS} = s_{1}^{RS} + s_{2}^{RS} \geq s_{1} + s_{2} = 2 b_{1}$ 이다. $T = \sum_{k} s_{k}$ 라 두면 재정렬이 총합을 보존하므로 $2 b_{q - 1} = s_{q - 1} + s_{q} = T - \sum_{k = 1}^{q - 2} s_{k}$ 이고, 명제 4를 $m = q - 2$ 에 적용하면 $\sum_{k = 1}^{q - 2} s_{k}^{RS} \geq \sum_{k = 1}^{q - 2} s_{k}$ 이므로 $2 b_{q - 1}^{RS} = T - \sum_{k = 1}^{q - 2} s_{k}^{RS} \leq 2 b_{q - 1}$ 이다. 식(11)은 식(10)의 두 부등식을 더한 결과이다. 최상위 클래스의 배정구간은 $b_{1}$ 이상, 최하위 클래스의 배정구간은 $b_{q - 1}$ 이하이므로 두 구간은 각각 좁아진다.

따름정리 1은 가중합 대표축에 관한 결과이다. 다만 $Cl$ 은 각 성분에 대해 증가함수이고(명제 1) 평탄 프로파일에 서는 정규화 수준과 일치하므로 두 집계에서 같은 방향의 효과가 나타날 것으로 기대할 수 있다. 그러나 이는 증명된 관계가 아니라 자료에서 확인해야 할 사항이다.

이상에서 재정렬이 배정경계를 이동시키는 방향은 식(10)에 의해 미리 정해져 있어 자료에 의존하지 않는다. 반면 이동의 크기는 자료에 따라 달라지며, 그것이 배정을 실제로 바꾸는지는 5장에서 검토한다.

5. 기준값 재정렬의 성능 영향 분석

3.1절에서 규정한 대로 실자료 분석의 회복 대상은 경계 프로파일을 명시하여 얻은 TOPSIS-Sort-B 배정이며, 클래 스 라벨만으로 구성한 프로파일이 이 배정을 얼마나 잘 회복하는지를 배정 불일치율로 측정한다. 5.1절에서 경제 자유지수 자료를 분석하고, 5.2.1절의 재표본 실험으로 프 로파일 표본 크기에 따른 안정성을 확인한다. 한편 프로파 일 구성이 클래스를 생성한 실제 구조를 얼마나 잘 추정하 는가는 이와 구분되는 물음이므로, 참 클래스를 아는 합성 통제 실험에서 별도로 다룬다(5.2.2절). 마지막으로 5.2.3절에서 네 건의 추가 공개자료로 결과를 확인한다.

5.1 경제자유지수 자료 분석

Heritage Foundation의 2019년 경제자유지수(Index of Economic Freedom, 180개국, 12기준, 균등가중)[7]을 사용하였다. 각 기준의 도메인은 원논문과 동일한 정의역 [0,100]으로 고정하였다.

이 자료에 기준값 재정렬을 적용한 배정(RS, Re-Sorting)과 적용하지 않은 배정(NR, No Re-sorting)을 각각 구하여 두 배정을 TOPSIS-Sort-B(이하 Sort-B)의 배정과 비교한다. 이때 특성 프로파일은 Sort-B 자체 배정이 정한 클래스의 구성원 평균으로, 원논문의 공식 등급 평균을 보인 Table 1과는 클래스 구성이 다르다. Sort-B 배정의 클래스 크기는 4, 24, 56, 74, 22개국이며, <Table 3>의 배정 인원은 이 프로파일로 최근접 규칙을 적용해 얻은 NR․RS 각각의 배정 결과이다.

다만 Sort-B가 정의한 클래스의 구성원 평균을 특성 프 로파일로 사용하므로, 본 분석은 NR과 RS의 절대적인 분 류 우열을 검증하기보다 동일한 Sort-B 기반 프로파일에 서 재정렬이라는 추가 조작이 회복도에 미치는 영향을 비 교하는 것으로 해석하여야 한다.

이 배정에서는 조세부담․정부지출의 값이 대부분이 미 클래스 순서에 놓여, 재정렬이 실제로 바꾸는 프로파일은 둘째․넷째 클래스뿐이다. 따라서 최상위․최하위 프 로파일의 근접계수는 재정렬 전후가 같으며, 이는 각 열의 최댓값과 최솟값이 이미 양 끝에 있어 명제 3에서 등호가 성립하는 경우에 해당한다.

<Table 3>에서 NR과 RS 모두 근접계수 순서를 유지하지만, TOPSIS-Sort-B와의 회복도는 NR 96.11%, RS 91.67%로 NR이 4.44%p 높다. 배정이 달라진 16개국 중 재정렬 때문에 회복 대상과 어긋난 경우는 12개, 일치한 경우는 4개였다(<Table 4>). 재정렬은 둘째․넷째 프로파 일의 근접계수를 바깥으로 이동시켜 최근접 규칙의 결정 경계를 회복 대상의 컷오프(0.8, 0.7, 0.6, 0.5)에서 멀어지 게 한다. 이 이동 방향은 4장에서 가중합 대표축에 대해 증명한 명제 4 및 따름정리 1의 방향과 같지만, 근접계수 공간에서는 증명된 결과가 아니라 본 자료에서 관찰된 결 과이다. <Table 3>의 마지막 두 행에서 보듯 경계 이탈의 합은 NR 0.0155, RS 0.0411로 RS가 약 2.7배 크며, 두 방 식의 회복도 차이는 대부분이 경계 이동으로 설명된다. 배정 인원의 변화도 따름정리 1이 가중합 공간에서 기술하는 방향과 같게 나타나, 최상위․최하위 클래스는 각각 4개국에서 2개국으로, 19개국에서 16개국으로 줄고 중간 세 클래스의 합은 157개국에서 162개국으로 늘었다. 개별로는 셋째 클래스가 52개국에서 63개국으로 늘고 둘째․ 넷째는 다소 줄었다. 이는 따름정리 1이 가중합 공간에서 보장하는 대상이 개별 클래스가 아니라 중간 구간의 총폭이라는 점과도 일치한다.

12 대 4의 불일치쌍에 대한 McNemar 정확검정의 양측 유의확률은 0.077로, 단일 자료에서는 통계적 유의성을 확 보하지 못하였다. 방향비(odds ratio)는 3.0이고 재정렬이 불리한 방향의 비율은 0.75(95% 신뢰구간 0.48-0.93)이지만, 불일치쌍이 16개로 제한되어 추정의 불확실성이 크다. 따라서 통계적 유의성과 별개로 이 절에서 확인된 것은, NR에서도 근접계수 순서가 유지되어 재정렬의 이론적 목 적이 이미 달성되어 있었다는 점과 경계 프로파일을 명시 한 배정의 회복도에서 NR이 우위에 있다는 점이다. 다만 단일 자료의 결과이므로 5.2절에서 재표본 실험과 추가 공 개자료로 보완한다.

이 자료에서 구조적 역전이 나타나는 조건은 기준 간 상관으로 확인할 수 있다. 180개국 전체에서 각 기준과나 머지 11개 기준 평균의 상관계수는 조세부담 +0.04, 정부지출 -0.12로, 다른 열 개 기준(+0.37~+0.78)과 달리 종합 수준과 거의 무관하였다. 또한 Sort-B의 중간 세 클래스 안에서 같은 상관의 평균은 조세부담 -0.35, 정부지출-0.55로 음이었다. 등급이 기준값의 평균으로 결정되는 보 상적 구조에서는 같은 등급 안에서 한 기준의 높은 값이 다른 기준의 낮은 값으로 상쇄되므로 클래스 내 음의 상관이 생긴다. 이때 종합 수준과 연관이 약한 기준에서는 클 래스 평균이 클래스 순서를 따를 이유가 없어 역전이 나타 날 수 있다. 재정건전성은 클래스 내 상관이 -0.41로 음이지만 종합 수준과의 상관이 +0.37로 충분하여 클래스 평균의 순서가 유지되었다. 즉이 자료의 역전은(i) 기준과 종 합 수준의 연관이 약하고(ii) 보상적 집계로 클래스 내 음의 상관이 생기는 두 조건이 겹친 기준에서 관찰되며, 전 구성원 평균에서도 나타난다는 점에서 표본 잡음에 의한 역전과 구분된다. 상관은 인과를 입증하지 않으므로, 이는 구조적 역전의 발생 조건과 부합하는 관찰로 해석한다. 5.2.2절 합성 실험의 중심 교란 $ε$ 는 기준별 수준을 클래스 순서와 독립적으로 흔든다는 점에서 조건(i)을 단순화하 여 모사한 것에 해당한다.

5.2 시뮬레이션

5.2.1 경제자유지수 자료 시뮬레이션

원논문은 각 클래스의 모든 구성원 평균을 특성 프로파 일로 사용한다. 본 시뮬레이션은 이를 표본 크기 $k$ 로 일반 화한다. 각 클래스에서 min $min (k, | C_{k} |)$ 개 국가를 비복원 무작 위 추출하여 그 평균을 해당 클래스의 특성 프로파일로 삼는다. 예컨대 $k$ $= 5$ 이고 클래스 크기가 $[4, 24, 56, 74, 22]$ 이 면 표본 구성은 $[4, 5, 5, 5, 5]$ 가 된다.

회복 대상은 5.1절과 동일한 Sort-B 배정이다. 경제자유 지수의 등급 컷오프 80, 70, 60, 50을 경계 프로파일로 삼 아 구간 규칙으로 배정한 결과이며, 경계 프로파일의 근접 계수는 그 수준을 100으로 나눈 값과 같으므로 배정경계는 0.8, 0.7, 0.6, 0.5이다. 두 방식이 같은 집계 함수를 쓰므로 프로파일 구성 방식의 영향만 분리된다.

표본 크기를 1부터 24까지 바꾸며 각 조건에서 500회추출하여 총 12,000회를 수행하고, 기준값이 클래스 순서와 어긋난 기준이 하나 이상 존재하는 시행만 유효한 것으로 집계한다. 이는 재정렬이 쟁점이 되는 상황만을 대상으로 삼기 위한 조건이다. 각 유효 시행에서 NR과 RS 각각으로 최근접 규칙을 시행하고, 배정이 회복 대상과 다른 국가의 비율을 클래스 불일치율로 기록한다.

시뮬레이션 결과는 <Table 5>와 <Figure 2>에 제시하였다. 11,999개 유효 시행에서 NR의 근접계수 순서 위반은 한 건도 없었고, 모든 표본 크기에서 RS의 불일치율이 더 높았다. $k = 24$ 에서 NR 3.65%, RS 8.71%로 격차는 5.06%p까지 증가했으며, 전체 유효 시행의 86.1%에서 재 정렬이 회복도를 악화시켰다. 이 결과는 하나의 데이터셋 내 안정성에 관한 것이므로, 합성 통제 실험과 추가 공개 자료를 통한 외적 확인으로 보완한다.

5.2.2 참 클래스를 아는 통제 실험

앞의 분석은 클래스 라벨만으로 구성한 프로파일이 경 계 프로파일을 명시했을 때의 배정을 얼마나 회복하는지를 다루었다. 이와 구분되는 물음으로, 프로파일 구성이 클래스를 생성한 실제 구조를 얼마나 잘 추정하는가가 있다. 실자료에서는 그 구조가 관측되지 않으므로, 참 클래 스와 그 생성 중심을 알고 있는 합성 자료로 통제 실험을 수행한다.

기준 수는 5, 클래스 수는 4, 가중치는 균등으로 두고 이상해와 반이상해는 각각 1과 0으로 고정한다. 각 클래스 중심은 편익 기준의 기본수준(0.80, 0.60, 0.40, 0.20)에 각 기준마다 독립적으로 Uniform[ $- ε, ε$ $]$ 교란을 더한 뒤 [0.02,0.98]로 절단하여 생성한다. 대안은 해당 중심에 표 준편차 0.06의 독립 정규잡음을 더해 생성하며, 참 클래스는 그 대안을 생성한 중심의 클래스이다. 프로파일 구성 표본과 평가표본은 별도로 생성하고, 평가표본은 클래스 당 40개로 둔다. 각 클래스에서 $k$ 개를 비복원 추출하여 기 준별 평균 프로파일을 만든 뒤 NR 과 RS를 비교한다.

클래스 중심의 기본수준은 [0, 1] 도메인에서 네 클래스를 0.2의 등간격으로 배치하고 양 끝에 0.2의 여유를 두어, 교란과 잡음을 더했을 때 절단의 영향이 줄어들도록 정하였다. 모든 기준값이 같은 상수 c(0≤c≤1)인 평탄 프로 파일에서는 근접계수가 c 이므로(정의 2), 교란 전 참 중심의 근접계수도 0.80, 0.60, 0.40, 0.20이 되어 배정경계를 해석하기 쉽다. 구성원 잡음의 표준편차 $σ = 0.06$ 은 인접 중심 간격 0.2가 $σ$ 의 약 3.3배가 되도록 정한 값이다. 이 수준에서는 참 중심에 역전이 없을 때( $ε = 0$ ) 역전 자체가 드물고 오분류율도 매우 낮다(<Table 9>, $σ = 0.06$ 에서 역 전율 12.8%, NR 오분류율 0.21%). 따라서 관측되는 오분 류율과 RS - NR 차이는 주로 $ε$ 로 주입한 구조적 역전에서 비롯된다. $σ$ 와 기본수준을 달리한 민감도 결과는 부록 <Table A1>의 Panel A에 제시하였다.

추가적으로, 재정렬 여부와 별개의 대표값 구성 방식에 따른 영향을 확인하기 위해, 구성원별 TOPSIS 근접계수를 먼저 계산한 뒤 클래스별 평균 근접계수를 대표점수로 사용하는 방식(SA, Score Averaging)을 보조 비교방법으로 포함한다.

각 조건은 난수 시드 20260730 아래 4,000회 시행하였다. 한 시행은 중심과 표본을 난수로 새로 생성해 한 벌의 합성 자료를 만들고 배정 정확도를 측정하는 한 회이다. 표에 제시한 표준오차와 z 통계량은 각 시행에서 동일한 난수 자료에 NR과 RS를 함께 적용하여 얻은 오분류율의 대응 차이를 기준으로 산출하였다. 집계 범위는 본 연구의 조건부 권고에 맞추어 기준별 역전이 존재하면서 NR 프 로파일의 근접계수 순서 정합성이 성립한 시행으로 한정 하였으므로, 결과는 모든 가능한 프로파일 구성이 아니라 ‘기준별 역전은 있으나 스칼라 순서는 유지되는 경우’에 적용된다.

<Table 6>에서 구조적 역전( $ε = 0.25)$ 이 있는 경우 RS는 모든 $k$ 에서 NR 보다 0.88~1.00%p 높은 오분류율을 보였다(모든 조건에서 z≥19). NR 과 SA는 사실상 동일하였다. <Table 7>에서도 $ε$ 가 커질수록 RS - NR이 증가하여 $ε = 0.35$ 에서 +6.09%p에 이르렀다. 다만 $ε = 0.10$ 은 유효 시행이 127회에 불과하고 차이가 0과 구분되지 않는다. 즉 참 구조에 역전이 있으면 재정렬의 손해가 역전 강도와 함께 커진다.

<Table 8>의 강건성 분석에서도 순서 정합 필터를 제거하거나 순서 위반 시행만 따로 분석해도 RS가 NR보다 나빴다. 따라서 재정렬의 열위가 조건부 샘플링에서 만들어진 결과는 아니다. 부록 <Table A1>에 제시한 바와 같이 $σ$ 와 기본수준을 바꾸거나(Panel A), 가중치를 불균등하게 두거나(Panel B), 기준 수와 클래스 수를 바꾸어도(Panel C) RS - NR은 모든 조건에서 양수였으며(모든 조건에서 z≥8), 구조적 역전에서 재정렬의 손해는 특정 설정에만 의존하지 않았다. 기준 수가 늘수록 RS - NR의 절대 크기는 줄었으나( $n = 3$ 에서 +1.27%p, $n = 12$ 에서 +0.22%p), 이는 NR 오분류율 자체가 함께 낮아졌기 때문이며 NR 대비 RS 오분류율의 비는 오히려 커졌다(1.16배에서 1.78배).

지금까지의 합성 실험은 참 중심 자체에 역전을 주입한 경우( $ε$ > 0)를 다루었다. 반대로 참 프로파일은 기준별 지 배를 만족하지만 표본이 작아 관측된 클래스 평균에서 우 연히 역전이 나타나는 경우도 검토한다. 이를 위해 중심 교란을 $ε = 0$ 으로 두어 참 중심이 지배를 만족하게 하고, 역전이 오직 구성원 샘플링 잡음(표준편차 $σ)$ 에서만 발생 하도록 한다. 다른 설정은 앞과 같으며 프로파일 표본은 $k = 1$ 로 둔다. 결과는 <Table 9>와 같다(시드 20260730, 4,000회 시행, 역전 발생․순서 정합 시행만 집계)

. <Table 9>에서 역전율은 $σ = 0.06$ 에서 0.15 사이에 12.8%에서 96.2%로 빠르게 증가하므로, 이 구간을 0.01 간격으로 세분하여 확인하였다. 이러한 급증은 설정에서 예상되는 결과이다. $k = 1$ 에서 인접 클래스 표본값의 차이는 평균 0.2, 표준편차 $\sqrt{2} σ$ 인 정규분포를 따르고, 기준 5개와 인접 클래스 쌍 3개로 이루어진 15개 비교를 독립으로 근사하면 역전율은 $1 - {Φ (0.2 / (\sqrt{2} σ))}^{15}$ 이다. 이 근사는 세분한 모든 $σ$ 에서 관측 역전율과 3.0%p 이내로 일치하였고, 역전율 50%는 $σ$ ≈ 0.083에 해당한다. 이 구간에서 RS- NR은 -0.03%p에서 -0.33%p 사이에서 연속적으로 음의 값을 유지하였다.

작은 잡음( $σ \leq 0.15)$ 에서는 RS의 평균 오분류율이 NR보다 다소 낮게 나타났으나 그 차이는 매우 작았다. 반면 $σ \geq 0.20$ 에서는 RS의 오분류율이 NR 보다 높아져 과교 정 가능성이 나타났다. 따라서 재정렬의 유․불리는 역전의 크기뿐 아니라 그 출처가 참 구조인지 샘플링 잡음인지에 달려 있으며, 낮은 잡음 수준에서 관측된 개선도 효과 크기를 고려하여 신중하게 해석할 필요가 있다.

이 결과가 참 중심의 평탄성에서 비롯된 인공물인지 확 인하기 위해, 각 기준에 고정 오프셋 $δ_{j}$ 를 부여해 참 중심을 비평탄으로 두되 클래스 간 지배는 유지한 조건에서 동일한 실험을 반복하였다. $δ$ 를 0.05, 0.10, 0.15로 바꾸어도 $σ = 0.10$ 에서 RS-NR은 -0.30~-0.31%p로 유지되었고 $σ = 0.20$ 에서는 +0.82~+0.86%p로 유지되어 부호와 크기가 사실상 변하지 않았다. 따라서 낮은 잡음에서 관찰된 RS의 우위는 평탄 중심 설정의 산물이 아니다. 다만 프로 파일 표본을 $k = 3$ 으로 늘리면 같은 조건( $σ = 0.10)$ 에서 차이가 -0.07%p(표준오차 0.02)로 줄고, $k = 5$ 에서는-0.04%p(표준오차 0.05, 유효 시행 51회)로 0과 구분되지 않아, 이 우위는 클래스당 구성원이 극히 적은 영역에 국 한된다.

5.2.3 다른 실자료로의 확장

5.2.1절의 절차, 즉 Sort-B 배정을 회복 대상으로 삼고 클래스 전 구성원 평균을 프로파일로 사용하는 방식을 경 제자유지수 외 공개 자료 네 건에 적용한다. 원유(raw milk) 품질[14]과 회사채[3]는 기준별 역전이 실재하는 자 료이며, 특히 회사채는 원 논문이 가중치와 기준 방향, 경 계 프로파일을 모두 제공하므로 추정이 개입하지 않는다. 인간개발지수(HDI)[18]와 취약국가지수(FSI)[5]는 공개된 고정 컷오프를 경계 프로파일로 삼는 대규모 자료다. 모든 자료에서 집계는 근접계수로 통일하되, 클래스 순서와 기준 방향 및 가중치는 해당 원자료 또는 선행연구의 정의를 따른다. 원유품질 자료의 네 품질 클래스 역시 원 자료에 제시된 품질 수준의 순서를 순서형 클래스로 사용한다.

<Table 10>에서 역전이 있는 자료의 RS는 NR보다 나쁘거나 같았다(경제자유지수 +4.44%p, 원유품질 +6.89%p, 회사채 동률). 회사채의 동률은 재정렬이 무해함을 뜻하지 않는다. 역전이 합계 약 3.5%의 저가중치 기준에 국한되 어, 따름정리 1이 가중합 공간에서 기술하는 것과 같은 방 향의 이동이 근접계수에서도 관찰되었으나(최상위 0.2707→0.2712, 최하위 0.1292→0.1291) 그 크기가 배정을 바꾸 지 못한 경우이다. 역전이 없는 HDI와 FSI에서는 재정렬이 프로파일을 바꾸지 않으므로 NR과 RS가 동일하였다.

한편 SA는 자료마다 우열이 달라 재정렬과는 별개의 대표값 구성 문제로 남는다. 실자료 비교의 핵심은 역전이 배정에 영향을 준 두 자료에서 재정렬이 열위였고 나머지 세 자료에서는 동률이어서, 다섯 자료 어디에서도 재정렬이 경계 프로파일을 명시한 배정의 회복도를 개선하지 못 했다는 점이다.

6. 결론

본 연구는 TOPSIS-Sort-C에서 기준값 재정렬의 필요성과 그것이 성능에 미치는 영향을 이론적․실증적으로 분 석하였다. 이론적으로 기준별 지배는 프로파일 근접계수의 순서를 보장하는 충분조건이지만 필요조건은 아니며, 이상해와 반이상해가 외부 도메인으로 고정되고 근접계수의 순서 정합성이 성립하면 기준별 지배 없이도 단조성, 비가역성 및 강안정성이 유지된다. 따라서 배정에서 직접 확인해야 할 조건은 개별 기준값의 완전한 순서가 아니라 근접계수의 순서 정합성이다.

또한 기준별 재정렬은 단조성을 회복하는 중립적 조치가 아니라 클래스 대표값의 산포를 키우는 편향 연산이다(명제 3․명제 4, 따름정리 1). 다만 배정경계의 이동은가 중합 집계에 대해 증명된 것이므로 근접계수 공간에서 일 반적으로 성립한다고 볼 수 없으며, 중간 클래스에 대해서도 개별 폭이 아니라 구간의 총폭만을 보장한다.

실증분석은 이러한 이론적 결과와 같은 방향을 보였다. 다만 배정경계에 관한 결과는 가중합 공간에서 증명된 것 이므로, 근접계수 기반 실증분석의 결과는 증명된 관계의 확인이 아니라 같은 방향이 관찰되었다는 의미로 해석해 야한다. 경제자유지수 자료에서는 재정렬을 하지 않아도 프로파일 근접계수의 순서가 유지되어 재정렬의 이론적 목적이 이미 달성되어 있었고, 경계 프로파일을 명시하여 얻은 배정의 회복도는 재정렬을 하지 않은 쪽이 높았다. 같은 자료의 재표본 실험에서도 모든 표본 크기에서 재정 렬하지 않은 쪽의 불일치율이 낮았다. 추가 공개자료 네 건 가운데 재정렬이 열위인 자료는 원유품질 한 건이었고, 나머지 세 건은 동률이었다(회사채는 역전이 저가중치 기 준에 국한되었고, HDI와 FSI는 역전이 없었다). 따라서 경 제자유지수를 포함한 다섯 자료 중 재정렬이 회복도를 개 선한 자료는 없었다. 참 클래스를 아는 합성 통제 실험은 재정렬의 효과가 역전의 출처에 달려 있음을 보여주었다. 참 프로파일 자체에 구조적 역전이 있으면 역전이 강할수 록 오분류 손실이 커졌고, 샘플링 잡음에 의한 역전에서는 낮은 잡음 수준에서 재정렬이 근소하게 유리했으나 그 차 이는 매우 작고 프로파일 표본이 극히 작은 경우에 국한되 었으며 잡음이 커지면 다시 과교정으로 작용하였다.

재정렬은 프로파일의 해석에도 문제를 남긴다. 재정렬된 프로파일은 기준마다 서로 다른 클래스에서 옮겨온 값으로 구성되므로 어떤 클래스의 실제 구성원 분포와도 대 응하지 않는다. 예컨대 Table 1에서 재정렬 후 C2의 조세 부담 78.98은 원래 C4의 평균이고, C4의 정부지출 56.61은 원래 C5의 평균이다. 이 프로파일을 근거로 “C2 국가는 C3 국가보다 조세부담 점수가 높다”고 설명하면 자료가 보여주는 사실(C2 평균 72.82, C3 평균 79.74)과 반대되는 해석을 제시하게 된다. 특성 프로파일의 장점이 클래스의 전형적 사례를 의사결정자에게 제시하는 데 있다는 점에 서, 재정렬로 얻은 표면적 단조성은 오히려 프로파일의 설 명력을 훼손한다. 더욱이 재정렬은 해당 기준이 등급과 약 하게 연관된다는 정보(5.1절)를 가려, 기준 구성이나 가중 치를 재검토할 계기를 없앤다.

이상의 결과에 따라 재정렬의 적용은 세 경우로 나누어 판단할 수 있다. 첫째, 프로파일 근접계수의 순서 정합성이 이미 성립하면 기준값을 기계적으로 재정렬할 필요가 없으며, 관측된 역전이 구조적 특성일 가능성이 높다면 원 자료가 갖는 프로파일의 대표성을 유지하는 것이 바람직 하다. 둘째, 소표본 잡음에 의한 역전이 의심되면 재정렬을 일률적으로 적용하기보다 순서제약 추정 등 보정 방법의 타당성을 검토해야 한다. 셋째, 근접계수 순서가 위반 되거나 동률이 발생하면 기준값을 재배치하기 전에 프로 파일 구성, 클래스 정의, 가중치 및 기준 방향을 우선 재검 토해야 한다.

본 연구에는 세 가지 한계가 있다. 재표본 실험이 하나의 데이터셋을 공유하고 실자료의 수가 제한적이다. 특성 프 로파일을 회복 대상이 정한 클래스의 구성원 평균으로 구 성하므로, NR이 목표 분할의 중심이고 RS가 그 교란에 해 당한다는 순환적 측면이 있다. 또한 실자료 분석은 경계 프 로파일을 산출할 수 있는 자료에 한정되므로 경계 정보를 얻을 수 없는 상황으로의 확장은 별도의 검증을 요한다.

향후 연구에서는 다양한 실자료로 결과의 일반화 가능 성을 검증할 필요가 있다. 방법론 측면에서는 프로파일의 대표성을 보존하면서 순서를 안정적으로 확보하는 강건 프로파일 구성과 순서제약 추정 방법을 비교하는 것이과 제로 남는다. 이론적으로는 중간 프로파일의 근접계수가 이동하는 방향을 규명하여 배정경계 결과를 근접계수 공 간으로 확장하는 것이 남은 과제이다.

Figure

<Figure 1>.

Procedure used in the original TOPSIS-Sort-C application, where criterion-value re-sorting is performed before assignment

<Figure 2>.

Class disagreement rate versus profile sample size, with and without re-sorting

Table

<Table 1>.

Criterion-wise order reversal before and after re-sorting

Class	Tax burden (orig.)	Tax burden (used)	Gov. spending (orig.)	Gov. spending (used)
C1	77.35	79.74	72.28	72.28
C2	72.82	78.98	55.38	71.52
C3	79.74	77.35	63.57	63.57
C4	78.98	72.82	71.52	56.61
C5	71.05	71.05	56.61	55.38

<Table 2>.

Counterexample verifying Proposition 2

Profile	g1	g2	d+	d−	Cl
P1 (upper)	90	50	0.2550	0.5148	0.6688
P2 (lower)	60	60	0.2828	0.4243	0.6000

<Table 3>.

Results with and without re-sorting

Note: Sort-B class size is the number of countries in each class of the Sort-B assignment, whose member means form the NR profiles; No. of countries assigned is the class distribution produced by the nearest-closeness rule under NR or RS.

-	NR	RS
Profile closeness coefficient	0.8561, 0.7485, 0.6543, 0.5535, 0.4307	0.8561, 0.7676, 0.6543, 0.5392, 0.4307
Closeness order (descending)	Holds	Holds
Recovery of Sort-B assignment	96.11%	91.67%
Sort-B class size (C1-C5)	4, 24, 56, 74, 22	4, 24, 56, 74, 22
No. of countries assigned (C1-C5)	4, 24, 52, 81, 19	2, 21, 63, 78, 16
Decision boundary bk	0.8023, 0.7014, 0.6039, 0.4921	0.8119, 0.7110, 0.5968, 0.4850
Deviation from target cutoffs (sum)	0.0155	0.0411

<Table 4>.

Countries whose assignment changed due to re-sorting

Country	Sort-B class	NR	RS
New Zealand, Switzerland	C1	C1	C2
Denmark, Japan, Qatar, South Korea, Sweden	C2	C2	C3
El Salvador, Seychelles	C4	C4	C3
Burundi, Mozambique, Turkmenistan	C5	C5	C4
Bosnia and Herzegovina, Croatia, Guatemala, Samoa	C3	C4	C3

<Table 5>.

Simulation results (excerpt). Recovery target = Sort-B assignment

Note: 500 replications for each sample size k=1, …, 24 (12,000 in total); 11,999 of them showed at least one criterion-wise reversal and were counted as valid, so exactly one replication was excluded. The full-member row is a single deterministic run and is not part of the 12,000. In the full-member row, every member of each Sort-B class is used, so the sizes equal the Sort-B class sizes in <Table 3>.

k	Profile sample size per class	Closeness-order violation	NR	RS	RS - NR
1	[1,1,1,1,1]	0.0%	16.42%	18.32%	+1.89%p
2	[2,2,2,2,2]	0.0%	12.55%	14.55%	+2.01%p
4	[4,4,4,4,4]	0.0%	9.16%	12.35%	+3.19%p
8	[4,8,8,8,8]	0.0%	6.89%	10.58%	+3.69%p
12	[4,12,12,12,12]	0.0%	5.30%	9.69%	+4.39%p
16	[4,16,16,16,16]	0.0%	4.80%	9.28%	+4.48%p
20	[4,20,20,20,20]	0.0%	4.01%	8.75%	+4.74%p
24	[4,24,24,24,22]	0.0%	3.65%	8.71%	+5.06%p
Full-member	[4,24,56,74,22]	0.0%	3.89%	8.33%	+4.44%p

<Table 6>.

Misclassification rate by sample size in the synthetic controlled experiment (ε=0.25)

Note: 4,000 replications per condition; numbers in parentheses are the standard error of RS-NR. Valid replications are 3,670, 3,703, 3,695, 3,695 and 3,705 for k=1, 5, 10, 20 and 40.

k	NR	RS	SA	RS-NR
1	4.81%	5.80%	4.81%	+1.00%p (0.05)
5	4.01%	4.91%	3.98%	+0.90%p (0.04)
10	3.73%	4.63%	3.72%	+0.89%p (0.03)
20	3.66%	4.54%	3.63%	+0.88%p (0.03)
40	3.56%	4.46%	3.53%	+0.90%p (0.03)

<Table 7>.

Misclassification rate by reversal intensity ε(k=20)

Note: 4,000 replications per condition; numbers in parentheses are the standard error of RS-NR. Valid replications are 127, 2,385, 3,549, 3,695, 3,488 and 3,159 for ε=0.10, 0.15, 0.20, 0.25, 0.30 and 0.35, and coincide with the KEEP counts of <Table 8>. The ε=0.10 row rests on only 127 valid replications and its difference is not distinguishable from zero.

ε	Reversal Rate	NR	RS	SA	RS-NR
0.10	3%	0.30%	0.30%	0.30%	-0.00%p (0.00)
0.15	60%	1.00%	1.03%	1.00%	+0.02%p (0.01)
0.20	89%	2.13%	2.35%	2.13%	+0.22%p (0.01)
0.25	97%	3.66%	4.54%	3.63%	+0.88%p (0.03)
0.30	99%	4.89%	7.65%	4.89%	+2.75%p (0.08)
0.35	100%	5.80%	11.89%	5.78%	+6.09%p (0.13)

<Table 8>.

Robustness of the order-consistency filter on reversal replications (k=20)

Note: The numbers of replications with criterion-wise reversal are 3,571, 3,884, 3,959 and 3,984 for ε=0.20, 0.25, 0.30 and 0.35; of these, 3,549, 3,695, 3,488 and 3,159 passed the order-consistency filter and 22, 189, 471 and 825 were excluded.

ε	Pass Rate	Excluded NR	Excluded RS	Excluded RS - NR	Overall RS - NR
0.20	99.4%	19.69%	33.44%	+13.75%p	+0.30%p
0.25	95.1%	18.55%	33.52%	+14.97%p	+1.57%p
0.30	88.1%	16.45%	36.65%	+20.20%p	+4.83%p
0.35	79.3%	14.52%	41.06%	+26.54%p	+10.32%p

<Table 9>.

Misclassification rate under sampling-induced reversal (ε=0,k=1)

Note: 4,000 replications per condition, seed 20260730. SE denotes the standard error of the difference in misclassification rate (RS - NR) across valid replications. Valid replications have at least one criterion-wise reversal and a strict NR profile-closeness order.

σ	Reversal Rate	NR	RS	RS - NR	SE	Valid
0.06	12.8%	0.21%	0.18%	-0.03%p	0.01	511
0.07	28.6%	0.78%	0.70%	-0.08%p	0.01	1146
0.08	45.0%	1.80%	1.66%	-0.14%p	0.01	1797
0.09	60.8%	3.31%	3.11%	-0.20%p	0.02	2430
0.10	72.4%	5.17%	4.85%	-0.32%p	0.02	2888
0.11	82.2%	7.39%	7.09%	-0.30%p	0.03	3269
0.12	87.7%	9.65%	9.33%	-0.32%p	0.03	3460
0.13	92.2%	12.09%	11.76%	-0.33%p	0.04	3602
0.14	94.9%	14.39%	14.16%	-0.23%p	0.04	3654
0.15	96.2%	16.85%	16.61%	-0.24%p	0.05	3644
0.20	99.4%	27.27%	28.20%	+0.93%p	0.07	3248
0.25	99.8%	35.10%	37.28%	+2.19%p	0.08	2701
0.30	99.9%	41.22%	44.64%	+3.42%p	0.10	2253

<Table 10>.

Full-member profile disagreement rate across five real datasets

Note: Recovery target=Sort-B assignment.

Dataset	No. of alternatives	No. of criteria	No. of classes	Criterion weights	Reversal	NR	RS	SA
Index of Economic Freedom	180	12	5	equal	Yes	3.89%	8.33%	6.11%
Raw milk quality	87	10	4	unequal	Yes	5.75%	12.64%	4.60%
Corporate bonds	50	10	3	unequal	Yes	8.00%	8.00%	20.00%
HDI	208	3	4	equal	No	7.69%	7.69%	8.17%
FSI	179	12	4	equal	No	9.50%	9.50%	10.61%

<Table A1>.

Robustness of the synthetic controlled experiment with structural reversal (k=20)

Note: 4,000 replications per condition, seed 20260730. Only replications with at least one criterion-wise reversal and a strict NR profile-closeness order are counted (Valid). SE is the standard error of the paired difference RS - NR in%p. When base levels or q change, εis set to 1.25 times the gap between adjacent class centers, as in the baseline (0.25=1.25 × 0.2).

Condition	Valid	NR (%)	RS (%)	SA (%)	RS - NR (SE)
Panel A: Member noise σand base levels (baseline: n = 5, q = 4, equal weights, ε=0.25)
σ=0.04	3721	1.83	2.49	1.83	+0.66 (0.03)
σ=0.05	3699	2.56	3.33	2.55	+0.77 (0.03)
σ=0.06 (baseline)	3695	3.66	4.54	3.63	+0.88 (0.03)
σ=0.08	3703	5.84	6.87	5.80	+1.02 (0.03)
σ=0.10	3700	9.09	10.34	8.97	+1.25 (0.04)
Base levels 0.85-0.15 (ε=0.292)	3693	3.04	4.13	3.02	+1.09 (0.04)
Base levels 0.70-0.30 (ε=0.167)	3733	6.67	7.37	6.65	+0.70 (0.03)
Panel B: Unequal weights drawn from Dirichlet(α) in each replication (σ=0.06, n = 5, q = 4)
α=0.5,ε=0.20	2730	10.94	11.09	10.94	+0.14 (0.02)
α=0.5,ε=0.25	2573	11.94	12.41	11.96	+0.47 (0.04)
α=0.5,ε=0.30	2184	12.33	13.65	12.32	+1.33 (0.07)
α=0.5,ε=0.35	1780	12.83	15.17	12.86	+2.34 (0.12)
α=1.0,ε=0.20	3024	9.19	9.38	9.19	+0.20 (0.02)
α=1.0,ε=0.25	2815	10.20	10.82	10.21	+0.61 (0.04)
α=1.0,ε=0.30	2416	10.94	12.55	10.94	+1.61 (0.08)
α=1.0,ε=0.35	2089	11.26	14.44	11.28	+3.18 (0.13)
α=2.0,ε=0.20	3248	7.36	7.59	7.37	+0.23 (0.02)
α=2.0,ε=0.25	3037	8.69	9.55	8.69	+0.86 (0.04)
α=2.0,ε=0.30	2678	9.42	11.31	9.42	+1.89 (0.07)
α=2.0,ε=0.35	2286	9.79	13.49	9.81	+3.69 (0.13)
Panel C: Number of criteria n and classes q (σ=0.06, equal weights, base levels 0.80-0.20)
n=3(q=4,ε=0.25)	3001	8.02	9.29	7.99	+1.27 (0.05)
n=8(q=4,ε=0.25)	3955	1.16	1.68	1.15	+0.52 (0.02)
n=12(q=4,ε=0.25)	3989	0.27	0.48	0.27	+0.22 (0.01)
q=3(n=5,ε=0.375)	3437	1.92	2.78	1.91	+0.85 (0.05)
q=5(n=5,ε=0.188)	3708	6.01	7.00	5.98	+0.99 (0.03)
q=6(n=5,ε=0.150)	3695	9.28	10.25	9.24	+0.97 (0.03)

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